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Formulario di Analisi 2

Successioni di funzioni

Convergenza puntuale e uniforme per le successioni di funzioni

Sia $f_n(x):[a,b]\rightarrow\mathbb R$. Diciamo che:

  • converge puntualmente a $f(x)$ se
  • $$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f_n(x)=f(x)\quad \forall x\in [a,b]$$
  • converge uniformemente a $f(x)$ se
  • $$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sup\limits_{x\in [a,b]}|f_n(x)-f(x)|=0$$

Converga uniforme $\Rightarrow$ Convergenza puntuale.

Teoremi del passaggio al limite per successioni di funzioni

Teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale

Sia $f_n(x):[a,b]\rightarrow\mathbb R$ continue in $[a,b]$ e tali che $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}=f(x)$. Si ha:

$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\int_a^b{f_n(x)\ dx}=\int_a^b{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}{f_n(x)}\ dx}=\int_a^b{f(x)\ dx}$$

Teorema del passaggio al limite sotto il segno di derivata

Sia $f_n(x):[a,b]\rightarrow\mathbb R\quad f_n(x)\in C^1[a,b]$ e supponiamo che:

  1. $\exists\ x_0\in [a,b]:\ \{f_n(x_0)\}$ converge
  2. $f'_n(x)$ converge uniformemente in $[a,b]$

allora:

  1. a) $f_n(x)$ converge uniformemente in $[a,b]$ ad una funzione derivabile $f(x)$ in $[a,b]$
  2. b) $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f'_n(x)=\left(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f_n(x)\right)'=f'(x)$

Serie di funzioni

Serie di funzioni assolutamente, puntualmente, uniformemente o totalmente convergenti

Sia data una serie di funzioni $\sum\limits_{n}^{+\infty} f_n(x)$ e sia $D$ l'intersezione dei domini delle funzioni $f_n(x)$. Tale serie si dice:

    • Assolutamente convergente

se $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \left|f_n(x)\right|$ è convergente come serie numerica $\forall x\in D$ (con $x$ fissato).

    • Puntualmente convergente

se $\exists \mbox{ finito }\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} f_n(x)=l(x)$.

    • Uniformemente convergente

se $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}||f_n(x)-l(x)||_{infty}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sup\limits_{x\in D}|f_n(x)-l(x)|=0$.

    • Totalmente convergente

Se $\exists\ \sum\limits_{n=1}^{+\infty} M_n\ :\ \left|f_n(x)\right|\le M_n\ \forall n\in\mathbb N,\ \forall x\in D$.

Di seguito le relazioni che intercorrono tra i vari tipi di convergenza:

  • Convergenza uniforme $\Rightarrow$ Convergenza puntuale
  • Convergenza assoluta $\Rightarrow$ Convergenza ordinaria (come serie numerica $\forall x\in D$)
  • Convergenza totale $\Rightarrow$ Convergenza assoluta $+$ Convergenza uniforme



Il teorema seguente può essere utile quando si vuole studiare la convergenza uniforme dei una serie di funzioni.

Teorema di continuità per serie di funzioni

Se $f_n(x)$ è continua in $x_0\in D$ e $\sum\limits_{n}^{+\infty} f_n(x)=f(x)$ è convergente uniformemente in $D$, allora $f(x)$ è continua in $x_0$.

Serie di potenze

Sia data la serie di potenza di centro $x_0$ $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-x_0)^n$. I seguenti teoremi ci mostrano come calcolare il raggio di convergenza $r$.

Teorema di D'alembert

Si calcola il seguente limite:

$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=l$$

il raggio di convergenza sarà

$$r=\left\{ \begin{array}{ll} 0 &\mbox{se } l=+\infty\\ +\infty &\mbox{se } l=0\\ \frac{1}{l} &\mbox{se } 0 < l < +\infty \end{array} \right.$$

Teorema di Cauchy-Hadamard

Si calcola il seguente limite:

$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=l$$

il raggio di convergenza sarà

$$r=\left\{ \begin{array}{ll} 0 &\mbox{se } l=+\infty\\ +\infty &\mbox{se } l=0\\ \frac{1}{l} &\mbox{se } 0 < l < +\infty \end{array} \right.$$

Vediamo ora come calcolare l'insieme di convergenza $I$:

Teorema di Abel

Sia data la serie di potenza di centro $x_0$ $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-x_0)^n$ con raggio di convergenza $r\ge 0$, allora:

  1. Se la serie converge puntualmente in $x_0+r$ allora la serie converge uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $(x_0-r,x_0+r]$
  2. Se la serie converge puntualmente in $x_0-r$ allora la serie converge uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $[x_0-r,x_0+r)$
  3. Se la serie converge puntualmente in $x_0+r$ e $x_0-r$ allora la serie converge uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $[x_0-r,x_0+r]$

Calcoliamo l'intervallo di convergenza:

Teorema di convergenza per le serie di potenze

Sia data la serie di potenza di centro $x_0$ $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-x_0)^n$ con raggio di convergenza $r\ge 0$, allora:

  1. Se $r=0$ la serie converge puntualmente ed esclusivamente in $x_0$.
  2. Se $r=+\infty$ la serie converge puntualmente in ogni $x\in\mathbb R$ e uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato $$[x_0-k,x_0+k],\ k>0.$$
  3. Se $0 < r < +\infty$ la serie converge puntualmente $\forall x: |x-x_0| < r$ e uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato $$[x_0-k,x_0+k],\ 0< k < r.$$

Nel caso 3) la situazione agli estremi è da studiare a parte!

Teoremi di integrazione e derivazione per serie

Teorema di integrazione per serie

Sia $f_n(x):[a,b]\rightarrow\mathbb R$ continue in $[a,b]$ e $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}f_n(x)$ converge uniformemente a $S(x)$ in $[a,b]$. Si ha:

$$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\int_a^b{f_n(x)\ dx}=\int_a^b{\sum\limits_{n=1}^{+\infty}f_n(x)\ dx}=\int_a^b{S(x)\ dx}$$

Teorema di derivazione per serie

Sia $f_n(x):(a,b)\rightarrow\mathbb R\quad f_n(x)\in C^1[a,b]$ e supponiamo che:

  1. $\exists\ x_0\in [a,b]:\ \{f_n(x_0)\}$ converge
  2. $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}f'_n(x)$ converge uniformemente in $(a,b)$ ad una funzione $G(x)$

allora:

  1. a) $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}f_n(x)$ converge uniformemente in $(a,b)$ ad una funzione $S(x)$ derivabile in $(a,b)$
  2. b) $S'(x)=\left(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}f_n(x)\right)'=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}f'_n(x)=G(x)\quad \forall x\in (a,b)$

Sviluppi notevoli serie di McLaurin

Somma serieSviluppoSerie
$\frac{1}{1-x}$ $1+x+x^2+x^3+x^4+\dots+x^n+o(x^n)+\dots$ $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}x^n$
$\frac{1}{1+x}$ $1-x+x^2-x^3+x^4+\dots+(-1)^nx^n+o(x^n)+\dots$ $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^nx^n$
$\frac{1}{1+x^2}$ $1-x^2+x^4-x^6+\dots+(-1)^n x^{2n}+o(x^2n)+\dots$ $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^n x^{2n}$
$\sqrt{1+x}$ $1+\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{16}x^3+\dots+{1/2 \choose n}x^n+o(x^n)+\dots$ $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{1/2 \choose n}x^n$
$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ $1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\dots+{-1/2 \choose n}x^n+o(x^n)+\dots$ $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{-1/2 \choose n}x^n$
$\sqrt[3]{1+x}$ $1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}x^2+\frac{51}{81}x^3+\dots+{1/3 \choose n}x^n+o(x^n)+\dots$ $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{1/3 \choose n}x^n$
$\frac{1}{\sqrt[3]{1+x}}$ $1-\frac{1}{3}x+\frac{2}{9}x^2-\frac{7}{81}x^3+\dots+{-1/3 \choose n}x^n+o(x^n)+\dots$ $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{-1/3 \choose n}x^n$
$(1+x)^\alpha$ $1+\alpha x+{\alpha \choose 2}x^2+{\alpha \choose 3}x^3+\dots +{\alpha \choose n}x^n+o(x^n)+\dots$ $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{\alpha \choose n}x^n$
$e^x$ $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)+\dots$ $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}$
$\ln(1+x)$ $x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)+\dots$ $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$
$\sin x$ $x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5}+\dots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})+\dots$ $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
$\cos x$ $1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4}+\dots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})+\dots$ $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$
$\tan x$ $x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+o(x^6)$ $/$
$\arcsin{x}$ $x+\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{40}x^5+\dots+\left|{-1/2 \choose n}\right|\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2})$ $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\left|{-1/2 \choose n}\right|\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$
$\arccos{x}$ $\frac{\pi}{2}-\arcsin x$ $\frac{\pi}{2}-\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\left|{-1/2 \choose n}\right|\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$
$\arctan{x}$ $x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\dots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2})$ $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$
$\sinh\ x$ $x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5}+\dots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})+\dots$ $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
$\cosh x$ $1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4}+\dots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})+\dots$ $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$
$\tanh x$ $x-\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+o(x^6)$ $/$
$sett\ tanh\ x$ $x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\dots +\frac{x^{2n+1}}{2n+1}o(x^{2n+2})$ $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

Funzioni di più variabili

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Commenti  

0 # RE: Formulario di Analisi 2Salvo 2015-11-14 13:02
Come posso vedere gli argomenti dopo funzioni a due variabili? Come mai non ci sono?
0 # RE: Formulario di Analisi 2Samuel Leanza 2015-11-25 16:54
Ciao Salvatore,
scusami per la risposta poco celere ma siamo ancora in fase di costruzione del sito.
Riguardo alla tua domanda, presto provvederemo a ultimare il formulario di analisi 2.
Nel frattempo, se hai bisogno di aiuto, siamo a tua disposizione.

Ciao ;)

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