Esercizi sulla distribuzione uniforme

  1. Calcolo valore atteso e probabilità per una variabile con distribuzione uniforme
  2. Applicazione della disuguaglianza di Cebicev per una variabile aleatoria con distribuzione uniforme
  3.  

 Esercizio 1

Nel gioco del tiro al bersaglio si vincono 10 punti se si colpisce il bersaglio entro 2 cm dal centro, 5 se si colpisce tra 2 e 3 cm e 2 se si colpisce tra 3 e 5 cm, Oltre 5 cm non si vince nulla. Si supponga che la distanza del punto in cui si colpisce e il centro del bersaglio abbia distribuzione uniforme sull’intervallo (0,10).

  1. a. Qual è il numero atteso di punti per lancio?
  2. b. Qual è la probabilità di avere 10 punti in un lancio?
  3. c. Assumendo i lanci indipendenti, qual è la probabilità di ottenere 40 punti in 4 lanci?

Osserviamo innanzitutto, che, il centro del bersaglio è 5 visto che la distanza massima dal centro entro cui si vincono dei punti è 5 e, deve essere considerata sia spostandosi verso destra che spostandosi verso sinistra.

Distribuzione uniforme nell'intervallo (0,10)

Indichiamo con X la variabile aleatoria che esprime la distanza dal punto in cui si colpisce il bersaglio e il centro del bersaglio. Per ipotesi si ha che $X\sim U[0,10]$.

La probabilità di colpire il bersaglio ad una determinata distanza dal centro, varia a seconda la distanza considerata. Quindi, considerando la funzione di ripartizione di una variabile con distribuzione uniforme si ha che:

  1. la probabilità di colpire il bersaglio entro 2 cm dal centro equivale alla probabilità che X sia compresa tra 3 e 7 nonchè alla probabilità di vincere 10 punti $$P_{10}=P(3 < X < 7)=\frac{7-3}{10-0}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$$
  2. la probabilità di colpire il bersaglio tra 2 e 3 cm dal centro equivale alla probabilità di vincere 5 punti $$P_5=P(2 < X < 3)+P(7 < X < 8)=\frac{3-2}{10-0}+\frac{8-7}{10-0}=\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$$
  3. la probabilità di colpire il bersaglio tra 3 e 5 cm dal centro equivale alla probabilità di vincere 2 punti $$P_2=P(0 < X < 2)+P(8 < X < 10)=\frac{2-0}{10-0}+\frac{10-8}{10-0}=\frac{2}{10}+\frac{2}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$$

Indichiamo con Y la variabile aleatoria che esprime il numero di punti conquistati in seguito al tiro effettuato. Allora, grazie alle probabilità appena calcolate, possiamo subito rispondere al punto a dell'esercizio:

$E(Y)=10\cdot P_{10}+5\cdot P_5+2\cdot P_2=10\frac{2}{5}+5\frac{1}{5}+2\frac{2}{5}=4+1+\frac{4}{5}=5,8$

Per quanto riguarda il punto b, la probabilità di avere 10 punti in un lancio è la già nota $P_{10}$

Infine, rispondiamo al punto c osservando che la probabilità di ottenere 40 punti in 4 lanci equivale a ottenere 10 punti in ognuno dei 4 lanci. Quindi, detti $E_i$ gli eventi "ottenere 10 punti nell'i-esimo lancio", per il punto b si ha:

$P(E_i)=P_{10}=\frac{2}{5}\quad\forall i=1,2,3,4$

Denotato con Z la variabile aleatoria che conta i numeri di successi nei 4 lanci, e dato che gli $E_i$ sono indipendenti, si ottiene che $Z\sim B\left(4,\frac{2}{5}\right)$.

Applicando la formula per il calcolo della funzione di densità di una variabile aleatoria con distribuzione binomiale otteniamo:

$P(Z=4)={4\choose4}\left(\frac{2}{5}\right)^4\left(1-\frac{2}{5}\right)^{4-4}=\left(\frac{2}{5}\right)^4=\frac{16}{625}=0,0256$

 Esercizio 2

Sia X una variabile casuale che segue una distribuzione uniforme sull'intervallo (0,10). Calcolare la probabilità che tale variabile casuale differisca dal suo valore medio per meno di $\frac{4\sqrt{3}}{5}$ volte la sua deviazione standard. Quale sarebbe un confine inferiore per tale probabilità se non si conoscesse la forma della distribuzione?

Innanzitutto, calcoliamo valore medio e deviazione standard della variabile casuale $X\sim U(0,10)$:

$\begin{array}{l} \mu=\frac{0+10}{2}=5\\ \sigma=\sqrt{\frac{(10-0)^2}{12}}=\sqrt{\frac{100}{12}}=\frac{10}{\sqrt{12}}=\frac{10}{2\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}\end{array}$

Calcoliamo la probabilità richiesta.

$\begin{array}{l} P\left(|X-\mu|<\frac{4\sqrt{3}}{5}\sigma\right)&=P\left(|X-5|<\frac{4\sqrt{3}}{5}\frac{5}{\sqrt{3}}\right)=P(|X-5| < 4)=P(-4 < X-5 < 4)=P(1 < X < 9)=\\ &=P\left(X\in (1,9)\right)=\frac{9-1}{10-0}=\frac{8}{10}=0,8\end{array}$

Per trovare un confine inferiore per tale probabilità supposta non nota la distribuzione, ci viene in aiuto la disuguaglianza di Cebicev:

$$P(|X-\mu| \ge k\sigma)\le \frac{\sigma^2}{(k\sigma)^2}$$

Applicando tale disuguaglianza al nostro caso otteniamo:

$$P(|X-5| \ge 4)\le \frac{\frac{25}{3}}{16}\quad\Rightarrow\quad P(|X-5| \ge 4)\le \frac{25}{48}$$

Il limite inferiore della probabilità si ottiene passando all'evento contrario:

$$P(|X-5| < 4)=1-P(|X-5| \ge 4)\ge 1-\frac{25}{48}=0,48$$

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