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Calcolo valore atteso e varianza (caso discreto)

Stai cercando esercizi svolti sul calcolo del valore atteso di variabili aleatorie discrete? Sei nella pagina giusta. Ricorda che per le formule e la teoria fai riferimento alla teoria (click!)

  1. Calcolare il valore atteso e la varianza di una variabile aleatoria discreta con funzione di massa di probabilità data.
  2. Calcolo valore atteso e varianza di variabile che denota il numero di camion che falliscono ad un determinato test.

Inoltre, se vuoi esercitarti tu stesso, ti propongo alcuni esercizi sul calcolo del valore atteso e della varianza da svolgere (clicca qui).

Esercizio 1

Sia $X$ una variabile aleatoria discreta con la seguente funzione di massa di probabilità: IMMAGINE Calcolare il valore atteso e la varianza di $X$.

Per la definizione di valore atteso di una variabile aleatoria discreta, dobbiamo sommare i prodotti tra ciascuno dei 6 valori che può assumere la variabile $X$ e le corrispondenti probabilità, ossia: $$\begin{eqnarray*} E(X)&=& \sum\limits_{i=1}^6x_i\cdot p(x_i)=\\ &=& -1\cdot 0.1+0\cdot 0.2+1\cdot 0.3+\\ &+& 2\cdot 0.2+3\cdot 0.1+4\cdot 0.1=\\ &=& 1.3 \end{eqnarray*}$$

Per calcolare la varianza invece, vanno moltiplicati i quadrati dei valori della variabile $X$ per le rispettive probabilità, ed infine sottrarre il quadrato del valore atteso: $$\begin{eqnarray*} VAR(X)&=& \sum\limits_{i=1}^6x_i^2\cdot p(x_i)-E(X)^2=\\ &=& [(-1)^2\cdot 0.1+(0)^2\cdot 0.2+(1)^2\cdot 0.3+\\ &+& (2)^2\cdot 0.2+(3)^2\cdot 0.1+(4)^2\cdot 0.1]-1.3^2=\\ &=& 2.01 \end{eqnarray*}$$

Esercizio 2

Nel testare un determinato tipo di pneumatici per camion su un terreno accidentato, si è scoperto che il 25% dei camion fallisce al test in quanto il pneumatico si fora. Assumi che 4 camion vengono sottoposti a test indipendentemente l'uno dall'altro e indica con $X$ la variabile aleatoria che denota il numero di camion che falliscono al test.
Calcola il valore atteso e la varianza di $X$

Come calcolare, dunque, valore atteso e varianza di una variabile aleatoria con distribuzione di massa di probabilità sconosciuta?

Osserviamo che, poichè $X$ indica il numero di fallimenti su $n=4$ prove indipendenti ed equiprobabili (con probabilità $p=0.25$), $X$ si distribuisce mediante una binomiale di parametri $n$ e $p$.

Dunque, possiamo applicare le formule per il valore atteso e la varianza di una v.a. con distribuzione binomiale: $$\begin{eqnarray*} E(X)&=& np=4\cdot 0.25=1\\ VAR(X)&=& np(1-p)=4\cdot 0.25=\cdot 0.75=0.75\end{eqnarray*}$$ oppure, se non dovessimo ricordarle, possiamo sempre utilizzare le formule primitive per il calcolo del valore atteso e varianza osservando innanzitutto che $X$ assume valori 0,1,2,3,4 con probabilità rispettivamente: $$\begin{eqnarray*} P(X=0)&=& {4\choose 0}0.25^00.75^4=0.3164\\ P(X=1)&=& {4\choose 1}0.25^10.75^3=0.4219\\ P(X=2)&=& {4\choose 2}0.25^20.75^2=0.2109\\ P(X=3)&=& {4\choose 3}0.25^30.75^1=0.0469\\ P(X=4)&=& {4\choose 4}0.25^40.75^0=0.0039\end{eqnarray*}$$ Tali probabilità sono state calcolate utilizzando la funzione di massa di probabilità della binomiale (click!).

Dunque avremmo: $$\begin{eqnarray*} E(X)&=& \sum\limits_{i=0}^4x_i\cdot P(X=x_i)=\\ &=& 0\cdot 0.3164+1\cdot 0.4219+2\cdot 0.2109+\\ &+& 3\cdot 0.0469+4\cdot 0.0039=1 \end{eqnarray*}$$ e $$\begin{eqnarray*} VAR(X)&=& \sum\limits_{i=0}^4x_i^2\cdot P(X=x_i)-E(X)^2=\\ &=& [0\cdot 0.3164+1\cdot 0.4219+4\cdot 0.2109+\\ &+& 9\cdot 0.0469+16\cdot 0.0039]-1^2=0.75 \end{eqnarray*}$$

Esercizi sul valore atteso e varianza da risolvere

  1. Un macchinario produce pezzi difettosi con probabilità pari a 0.1. Calcolare il valore atteso e la varianza della variabile che conta il numero di pezzi difettosi su 20 pezzi estratti casualmente dalla popolazione
  2. Sia $X$ una v.a. discreta avente la seguente funzione di probabilità: $$p(x)=\begin{cases} \frac{x^2}{14} & x=1,2,3\\ 0 & \mbox{altrove}\end{cases}$$ Si ricavi $E(X)$ e $VAR(X)$.
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