In questo articolo trovi tantissimi esempi ed esercizi svolti sulla verifica di ipotesi per la differenza tra due medie per grandi e piccoli campioni, con varianze conosciute o sconosciute e per dati appaiati e non.
Per una maggiore comprensione, ti invito la lettura della parte teorica dell'argomento che puoi raggiungere cliccando qui.
- Test di ipotesi sulla differenza tra due medie nel caso di grandi campioni
- Test di ipotesi sulla differenza tra due medie nel caso di piccoli campioni
- Test di ipotesi bilaterale sulla differenza tra due medie
In un campione casuale di 64 famiglie di tre componenti nella città A, il numero medio di automobili possedute è pari a 2.1 con unca deviazione standard $s_1=0.29$. In un campione casuale di 75 famiglie della stessa dimensione nella città B, il numero medio di automobili possedute è 1.7 con una deviazione standard $s_2=0.24$. Si determini se la media dei due gruppi può essere ritenuta uguale oppure $\mu_1 > \mu_2$ a livello $\alpha=0.01$
Indicando con $\mu_1$ e $\mu_2$ i valori medi rispettivamente delle popolazioni A e B, il sistema di ipotesi è banalmente $$\begin{cases} H_0: \mu_1-\mu_2=0\\ H_1: \mu_1-\mu_2 > 0\end{cases}$$
Trattandosi di due gruppi di dati indipendenti con numerosità campionaria $\geq 30$, la statistica test è la variabile con distribuzione normale standard: $$Z_{test}=\frac{\overline{x}_1-\overline{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}=\frac{2.1-1.7}{\sqrt{\frac{0.29^2}{64}+\frac{0.24^2}{75}}}=6$$
Il valore critico letto dalle tavole della distribuzione normale standard in corrispondenza di un livello di significatività $\alpha=0.01$ è $z_{1-\alpha}=z_{0.99}=2.33$.
L'esito del test è "rifiuto $H_0$ dato che $Z_{test}=6>z_{0.99}=2.33$ e quindi possiamo concludere dicendo che i valori medi del numero di automobili possedute non è uguale per i due gruppi A e B.
In seguito a un'indagine sul contenuto di energia metabolizzante (in kcal per grammo) di due diversi tipi di cibo per gatti, si sono avuti i risultati esposti nella tabella seguente:
Si verifichi che i due tipi di cibo abbiano lo stesso contenuto di energia metabolizzabile contro l'alternativa che il cibo B abbia un contenuto superiore. Si ponga $\alpha=0.05$. Si assuma che valgano le condizioni standard per l'applicazione del t test.
Indicando con $\mu_1$ e $\mu_2$ i valori medi rispettivamente delle popolazioni A e B, il sistema di ipotesi è banalmente $$\begin{cases} H_0: \mu_1-\mu_2=0\\ H_1: \mu_1-\mu_2 < 0\end{cases}$$
Calcolata la varianza congiunta $$S=\frac{(n_1-1)s_A^2+(n_2-1)s_B^2}{n_1+n_2-2}=\frac{27\cdot 0.26^2+28\cdot 0.35^2}{28+29-2}=0.096$$ la statistica test è la variabile con distribuzione t di Student $$T_{test}=\frac{\overline{x}_1-\overline{x}_2}{\sqrt{S^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}=\frac{1.19-1.54}{\sqrt{0.096\left(\frac{1}{28}+\frac{1}{29}\right)}}=-4.375$$
I gradi di libertà sono $\nu = 28+29-2=55$ e il valore critico corrispondente a $\alpha=0.05$ letto dalle tavole della t di Student è: $$t_{0.05}(55)=1.67$$
L'esito del test è "rifiuto $H_0$" perchè $T_{test}=-4.375 < -t_{0.05}(55)=-1.67$.
