Sviluppo in serie di funzione logaritmica

Si sviluppi in serie di Mc-Laurin la funzione $$f(x) = \frac{1}{2} \log{\frac{1+x}{1-x}}$$ e si trovi il raggio di convergenza della serie.

Scriviamo meglio la funzione da sviluppare utilizzando le note proprietà dei logaritmi.

$$f(x) = \frac{1}{2} \log{\frac{1+x}{1-x}} = \frac{1}{2} \left[ \log(1+x)- \log(1-x)\right]$$

Adesso osserviamo che, se $|x|<1$, si ha:

$$\int \frac{1}{1-x} \ dx = - \log (1-x) \quad \Rightarrow $$ \begin{eqnarray*} -\log (1-x) &=& \int \frac{1}{1-x} \ dx = \int \sum\limits_{n=0}^\infty x^n \ dx = \sum\limits_{n=0}^\infty \int x^n \ dx = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1}}{n+1} =\\ &=&\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{n}}{n} = \left( x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}+ \frac{x^4}{4}+ \cdots \right) \end{eqnarray*}

Sappiamo inoltre che

$$\log (1+x) = \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n} = \left( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \right)$$

Sostituendo quanto appena trovato nell'espressione di $f(x)$, si ha:

\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \log{\frac{1+x}{1-x}} &=& \frac{1}{2} \left( \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n} + \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{n}}{n} \right) = \frac{1}{2} \left( 2x + 2 \frac{x^3}{3} + 2 \frac{x^5}{5} + 2\cdots \right) = \\ &=& \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{2n-1}}{2n-1} \end{eqnarray*}

Lo sviluppo è quindi quello appena trovato e il raggio di convergenza in $]-1, 1[$ visto che abbiamo potuto sviluppare per $|x|<1$.

Osserviamo anche che abbiamo potuto scrivere l'integrale della serie come serie dell'integrale per il Teorema di integrazione per serie. L'esercizio è così concluso.

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