Integrali risolti per parti

Se sei capitato qui è perchè stai cercando di capire come e quando si applica il metodo di integrazione per parti per risolvere un integrale di funzione. Di seguito di ricordo la formula di integrazione per parti:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\int f(x)\cdot g'(x)\ dx=g(x)\cdot f(x)-\int f'(x)\cdot g(x)\ dx}$$

Se stai muovendo i primi passi per la comprensione degli integrali, ti consiglio la lettura preliminare di questo articolo in cui viene spiegato in maniera semplice e dettagliata l'applicazione del metodo di integrazione per parti con degli esempi pratici.

Se, invece sei già ad un livello superiore, ti auguro una buona lettura e comprensione degli esercizi che trovi qui di seguito.

  1. $\large{\int_0^1{x^7e^{x^4-2}}\ dx}$
  2. $\large{\int_0^{\pi}{e^{4x}\sin(2x)}\ dx}$
  3. $\large{\int x^3\arccos(x^4)\ dx}$
  4. $\large{\int_0^3(x+|x-2|)e^{3x}\ dx}$

Integrale 1

$$\int_0^1{x^7e^{x^4-2}}\ dx$$

Prima di applicare la regola dell'integrazione per parti, facciamo una sostituzione che ci permetterà di semplificare la funzione integranda:

poniamo $t=x^4$ da cui, diffenziando ambo i membri, segue che $dt=4x^3 dx$.

Inoltre, per $x=0\Rightarrow t=0$ e per $x=1\Rightarrow t=1$.

Adesso possiamo procedere con la sostituzione. Otteniamo che:

$$\int_0^1{x^7e^{x^4-2}}\ dx=\int_0^1{x^7\frac{e^{x^4}}{e^2}}\ dx=\frac{1}{e^2}\int_0^1x^4x^3e^{x^4}\ dx=\frac{1}{4e^2}\int_0^1x^4e^{x^4}4x^3\ dx=\frac{1}{4e^2}\int_0^1t\cdot e^t\ dt$$

Risolviamo l'integrale indefinito con il metodo di integrazione per parti prendendo $t$ come fattore differenziale e $e^t$ come fattore finito:

$$\int t\cdot e^t\ dt=e^t\cdot t-\int e^t\ dt=t\cdot e^t-e^t$$

Ritornando al nostro integrale si ha che:

$$\frac{1}{4e^2}\int_0^1t\cdot e^t\ dt=\frac{1}{4e^2}\left[e^t-e^t\right]_0^1=\frac{1}{4e^2}[0-(-1)]=\frac{1}{4e^2}$$

Integrale 2

$$\int_0^{\pi}{e^{4x}\sin(2x)}\ dx$$

Per prima cosa applichiamo la seguente sostituzione:

$$t=2x\Rightarrow dt=2\cdot dx$$

dalla quale deriva che per $x=0\Rightarrow t=0$ e per $x=\pi\Rightarrow t=2\pi$.

Detto ciò, vediamo riscriviamo l'integrale di partenza come segue:

$$\int_0^{\pi}{e^{4x}\sin(2x)}\ dx=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}{2e^{4x}\sin(2x)}\ dx=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}{e^{2t}\sin(t)}\ dt$$

Calcoliamo l'integrale indefinito seguente, integrando per parti due volte:

$\begin{array}{l} \int{e^{2t}\sin(t)}\ dt &=\frac{1}{2}e^{2t}\sin t-\frac{1}{2}\int e^{2t}\cos t\ dt=\\ &=\frac{1}{2}e^{2t}\sin t-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}e^{2t}\cos t-\frac{1}{2}\int e^{2t}(-\sin t)\ dt\right]=\\ &=\frac{1}{2}e^{2t}\sin t-\frac{1}{4}e^{2t}\cos t-\frac{1}{4}\int{e^{2t}\sin(t)}\ dt\end{array}$

A questo punto, ponendo:

$$I=\int{e^{2t}\sin(t)}\ dt$$

e guardando primo e ultimo membro nella serie di uguaglianze precedenti si ottiene:

$\begin{array}{l} I=\frac{1}{2}e^{2t}\sin t-\frac{1}{4}e^{2t}\cos t-\frac{1}{4}I\quad\Rightarrow\quad \frac{5}{4}I=\frac{1}{2}e^{2t}\sin t-\frac{1}{4}e^{2t}\cos t\quad\Rightarrow\\ \Rightarrow\quad I=\frac{4}{5}\left(\frac{1}{2}e^{2t}\sin t-\frac{1}{4}e^{2t}\cos t\right)=\frac{2}{5}\left( e^{2t}\sin t-e^{2t}\cos t\right)\end{array}$

Possiamo ora calcolare l'integrale definito richiesto:

$$\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}{e^{2t}\sin(t)}\ dt=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}\left[e^{2t}\sin t-e^{2t}\cos t\right]_0^{2\pi}=\frac{1}{5}\left[e^{4\pi}\sin(2\pi)-e^{4\pi}\cos(2\pi)+1\right]=\frac{1}{5}(1-e^{4\pi})$$

Integrale 3

$$\int x^3\arccos(x^4)\ dx$$

Quando la funzione integranda di un integrale si presenta sottoforma di prodotto tra una funzione polinomiale e una funzione trigonometrica, possiamo sicuramente dire che il metodo da usare per risolvere l'integrale è quello di integrazione per parti.

Prima, però, è necessario applicare il metodo della sostituzione per semplificare la forma con cui si presenta l'integrale. La sostituzione da fare è:

$$t=x^4\quad\Rightarrow\quad dt=4x^3\ dx$$

Riscriviamo l'integrale proposto introducendo la sostituzione appena fatta:

$$\int x^3\arccos(x^4)\ dx=\frac{1}{4}\int 4x^3\arccos(x^4)\ dx=\frac{1}{4}\int \arccos t\ dt$$

Integriamo per parti scegliendo come fattore finito la funzione costante $1$ e come fattore differenziale la funzione $\arccos t$:

$\frac{1}{4}\int \arccos t\ dt=\frac{1}{4}\int 1\cdot \arccos t\ dt=\frac{1}{4}\left[t\cdot \arccos t -\int -\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\ dt\right]=$

Osservando che

$$\int -\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\ dt=\int\frac{-2t}{2\sqrt{1-t^2}}\ dt=\sqrt{1-t^2}+c$$

si ottiene infine:

$\begin{array}{l} \frac{1}{4}\left[t\cdot \arccos t -\int -\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\ dt\right]&=\frac{1}{4}\left[t\cdot \arccos t -\sqrt{1-t^2}+c\right]=\frac{1}{4}t\cdot\arccos t-\frac{1}{4}\sqrt{1-t^2}+c=\\ &=\frac{x^4}{4}\arccos x^4-\sqrt{1-x^8}+c\end{array}$

Integrale 4

$$\int_0^3(x+|x-2|)e^{3x}\ dx$$

Ricordando la definizione di valore assoluto, e sapendo che $x-2\ge \ \Leftrightarrow\ x\ge 2$ possiamo scrivere:

$$|x-2|=\begin{cases} x-2 & x\ge 2\\ -x+2 & x < 2\end{cases}$$

Dunque, l'integrale di partenza può essere scomposto nella somma di due nei quali non è più presente il valore assoluto:

$$\int_0^3(x+|x-2|)e^{3x}\ dx = \int_0^2(x-x+2)e^{3x}\ dx +\int_2^3 (x+x-2)e^{3x}\ dx=\int_0^2 2e^{3x}\ dx+\int_2^3 (2x-2)e^{3x}\ dx$$

Il primo integrale è facilmente integrabile, mentre il secondo richiede l'integrazione per parti:

$$\begin{eqnarray*}\int(2x-2)e^{3x}\ dx &=& 2\int (x-1)e^{3x}\ dx = 2\left[\frac{1}{3}e^{3x}(x-1)-\int\frac{1}{3}e^{3x}\ dx\right]=\\ &=& 2\left[\frac{1}{3}e^{3x}(x-1))-\frac{1}{9}e^{3x}\right] = \frac{2}{3}\left[e^{3x}(x-1)-\frac{1}{3}e^{3x}\right]\end{eqnarray*}$$

A questo punto, possiamo scrivere il risultato completo dell'integrale di partenza:

$$\begin{eqnarray*}\int_0^2 2e^{3x}\ dx+\int_2^3 (2x-2)e^{3x}\ dx &=&\frac{2}{3}\left[e^{3x}\right]_0^2+\frac{2}{3}\left[e^{3x}(x-1)-\frac{1}{3}e^{3x}\right]_2^3=\\ &=&\frac{2}{3}\left[e^6-1+2e^9-\frac{1}{3}e^9-e^6+\frac{1}{3}e^6\right]=\frac{2}{3}\left(\frac{5}{3}e^9+\frac{1}{3}e^6-1\right)\end{eqnarray*}$$

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