Operazioni con le frazioni algebriche

In questo articolo illustreremo come si svolgono le operazioni di somma, differenza, moltiplicazione, divisione e potenza tra frazioni algebriche. Questi concetti saranno poi utili per risolvere qualsiasi tipo di espressione algebrica.

 

Addizione e sottrazione di frazioni algebriche

Per svolgere somme e differenze tra frazioni algebriche dobbiamo dapprima ridurle allo stesso denominatore calcolando il m.c.m tra i loro denominatori e procedere con le operazioni che vediamo nell'esempio seguente.

Esempio di addizione e sottrazione tra frazioni algebriche

$$\frac{2}{a^2b}+\frac{3}{ab^2}-1$$

Come già detto, calcoliamo il m.c.m. tra i denominatori delle frazioni: $$\mbox{m.c.m.}(a^2b,ab^2)=a^2b^2$$

Dopodichè, scriviamo un'unica frazione in cui al denominatore compare il m.c.m. calcolato e al denominatore la somma dei termini che si ottengono facendo le seguenti operazioni per ognuno dei numeratori che compongono l'espressione data: $$\begin{array}{l} (a^2b^2:a^2b)\cdot 2\\ (a^2b^2:ab^2)\cdot 3\\ (a^2b^2:1)\cdot 1\end{array}$$

Scriviamo in modo chiaro tutti i passaggi: $$\begin{eqnarray} \frac{2}{a^2b}+\frac{3}{ab^2}-1 &=& \frac{(a^2b^2:a^2b)\cdot 2+(a^2b^2:ab^2)\cdot 3-(a^2b^2:1)\cdot 1}{a^2b^2}=\\ &=&\frac{2b+3ab-a^2b^2}{a^2b^2}\end{eqnarray}$$

A questo punto possiamo determinare le condizioni di esistenza: $$\mbox{C.E.:}\quad a\neq 0,\ b\neq 0$$

Per finire è necessario semplificare la frazione algebrica ottenuta scomponendo in fattori il numeratore: $$\frac{2b+3ab-a^2b^2}{a^2b^2}=\frac{\cancel{b}(2+3a-a^2b)}{a^2b^{\cancel{2}}}=$$

Semplificando otteniamo $$=\frac{2+3a-a^2b}{a^2b}$$

 

Moltiplicazione di frazioni algebriche

Eseguiamo le seguenti moltiplicazioni tra frazioni algebriche:

  1. $\frac{a}{3b^3}\cdot\frac{9b^9}{2a^2}$ (svolgimento)
  2. $\frac{x^2+4x+4}{x^2-4}\cdot\frac{2x-x^2}{2x}\cdot\frac{x}{2x+x^2}$ (svolgimento)
  3. $\frac{a^3-3ab}{a+3ab}\cdot\frac{a^2+6ab+9b^2}{a^3-9ab^2}$ (svolgimento)

 

Moltiplicazione 1

$$\frac{a}{3b^3}\cdot\frac{9b^9}{2a^2}$$

Dividiamo i coefficienti 3 e 9 per il fattore comune 3; dividiamo le parti letterali per i fattori comuni eseguendo la differenza degli esponenti: $$\frac{\cancel{a}}{\cancel{3}\cancel{b^3}}\cdot\frac{\mathop{\cancel{9}}^3\mathop{\cancel{b^9}}^{b^6}}{2a^\cancel{2}}=\frac{3b^6}{2a}$$

Quest'ultima ha significato solo se: $$\mbox{C.E.:}\quad a\neq 0,\ b\neq 0$$

 

Moltiplicazione 2

$$\frac{x^2+4x+4}{x^2-4}\cdot\frac{2x-x^2}{2x}\cdot\frac{x}{2x+x^2}=$$

Scomponiamo e semplifichiamo: $$\frac{\cancel{(x+2)^2}}{(x-2)\cancel{(x+2)}}\cdot\frac{\cancel{x}(2-x)}{2\cancel{x}}\cdot\frac{\cancel{x}}{\cancel{x}\cancel{(2+x)}}$$

Prima di semplificare ulteriormente, determiniamo le condizioni di esistenza: $$\mbox{C.E.:}\quad x\neq 0,\ x\neq\pm 2$$

Completiamo le semplificazioni per ottenere il risultato finale: $$=\frac{2-x}{2(x-2)}=-\frac{\cancel{x-2}}{2\cancel{(x-2)}}=-\frac{1}{2}$$

 

Moltiplicazione 3

$$\frac{a^3-3ab}{a+3ab}\cdot\frac{a^2+6ab+9b^2}{a^3-9ab^2}=$$

Anche in questo caso possiamo scomporre e semplificare numeratori e denominatori: $$=\frac{\cancel{a}\cancel{(a-3b)}}{\cancel{a+3b}}\cdot\frac{\cancel{(a+3b)^2}}{\cancel{a}\cancel{(a-3b)}\cancel{(a+3b)}}=1$$

Le condizioni di esistenza si determinano ponendo diversi da zero i denominatori presenti nel penultimo passaggio ossia: $$\mbox{C.E.:}\quad a\neq 0,\ a\neq\pm 3b$$

 

Divisione di frazioni algebriche

Dopo aver determinato le condizioni di esistenza, la divisione tra due frazioni algebriche si effettua moltiplicando la prima frazione per il reciproco della seconda frazione come possiamo vedere negli esempi seguenti.

Determiniamo le condizioni di esistenza del seguente quoziente, eseguendo poi la divisione:

  1. $\frac{a^2+3a}{a-3}:\frac{a}{a^2-9}$ (svolgimento)
  2. $\frac{a^2-b^2}{6ab}:\frac{a+b}{12a}:\frac{4a^2-8ab+4b^2}{3b^2}$ (svolgimento)
  3. $\frac{a^2-b^2}{6ab}:\left(\frac{a+b}{12a}:\frac{4a^2-8ab+4b^2}{3b^2}\right)$ (svolgimento)

 

Divisione 1

$$\frac{a^2+3a}{a-3}:\frac{a}{a^2-9}=$$

Scomponiamo in fattori numeratori e denominatori: $$=\frac{a(a+3)}{a-3}:\frac{a}{(a+3)(a-3)}=$$

Le frazioni hanno le seguenti condizioni di esistenza: $$\mbox{C.E.:}\quad a\neq\pm 3$$

A queste dobbiamo aggiungere il fatto che il divisore non può essere 0. Quindi il numeratore della seconda frazione ($a$), deve essere diverso da 0: $$\mbox{C.E.:}\quad a\neq 0$$

Eseguiamo la divisione, cioè moltiplichiamo per il reciproco del divisore e semplifichiamo opportunamente: $$=\frac{\cancel{a}(a+3)}{\cancel{a-3}}:\frac{(a+3)\cancel{(a-3)}}{\cancel{a}}=(a+3)^2$$

L'espressione $(a+3)^2$ esiste per ogni valore di $a$, ma essa è quoziente delle frazioni iniziali solo se $$\mbox{C.E.:}\quad a\neq\pm 3,\ a\neq 0$$

Per esempio, per $a=5$ il quoziente vale $(5+3)^2=64$, ma per $a=0$, pur essendo $(0+3)^2=9$, il quoziente non esiste. Controlla quanto abbiamo ottenuto, sostituendo ad $a$ rispettivamente i valori 5 e 0 nell'espressione iniziale.

 

Divisione 2

$$\frac{a^2-b^2}{6ab}:\frac{a+b}{12a}:\frac{4a^2-8ab+4b^2}{3b^2}$$

Quando un'espressione presenta più di due divisioni consecutive, esse vanno eseguite da sinistra verso destra, come se la prima divisione fosse racchiusa tra parentesi: $$\begin{eqnarray} &=&\left(\frac{a^2-b^2}{6ab}:\frac{a+b}{12a}\right):\frac{4a^2-8ab+4b^2}{3b^2}=\\ &=&\left(\frac{\cancel{(a+b)}(a-b)}{\cancel{6a}b}\cdot\frac{\mathop{\cancel{12a}}^2}{\cancel{a+b}}\right):\frac{4(a-b)^2}{3b^2}=\end{eqnarray}$$

Come fatto prima, le condizioni di esistenza si determinano ponendo diversi da 0 tutti i denominatori delle frazioni e il numeratore del divisore: $$\mbox{C.E.:}\quad a\neq 0,\ b\neq 0,\ a\neq -b$$

Calcolando la divisione otteniamo $$=\frac{\cancel{2}\cancel{(a-b)}}{\cancel{b}}\cdot\frac{3b^{\cancel{2}}}{\mathop{\cancel{4}}_2(a-b)^{\cancel{2}}}=\frac{3b}{2(a-b)}$$

 

Divisione 3

$$\frac{a^2-b^2}{6ab}:\left(\frac{a+b}{12a}:\frac{4a^2-8ab+4b^2}{3b^2}\right)=$$

In questo caso, viene eseguita prima la seconda divisione poi la prima, dato che le operazioni dentro le parentesi hanno la priorità rispetto a quelle che giacciono fuori. Sfruttiamo la scomposizione già trovata nei precedenti due esercizi: $$\frac{a^2-b^2}{6ab}:\left(\frac{a+b}{\mathop{\cancel{12}}_4a}\cdot\frac{\cancel{3}b^2}{4(a-b)^2}\right)=$$

Al solito, determiniamo le condizioni di esistenza: $$\mbox{C.E.:}\quad a\neq 0,\ b\neq 0,\ a\neq b$$

Completiamo i passaggi dividendo e semplificando l'espressione: $$\begin{eqnarray} &=&\frac{(a-b)(a+b)}{6ab}:\frac{b^2(a+b)}{16a(a-b)^2}=\\ &=&\frac{(a-b)\cancel{(a+b)}}{\mathop{\cancel{6}}_3\cancel{a}b}\cdot\frac{\mathop{\cancel{16}}^8\cancel{a}(a-b)^2}{b^2\cancel{(a+b)}}=\frac{8(a-b)^3}{3b^3}\end{eqnarray}$$

Alle condizioni di esistenza aggiungiamo anche la seguente: $$mbox{C.E.:}\quad a\neq -b$$

 

Potenza di frazioni algebriche

Semplifichiamo le potenze delle seguenti frazioni algebriche:

  1. $\left(-\frac{3ab^5}{2a^2c^3}\right)^2$ (svolgimento)
  2. $\left(\frac{a^2-b^2}{a^2+2ab+b^2}\right)^3$ (svolgimento)
  3. $\left(\frac{5xy}{a^2}\right)^{-2}$ (svolgimento)

 

Elevamento a potenza 1

$$\left(-\frac{3ab^5}{2a^2c^3}\right)^2=$$

Essendo l'esponente della frazione algebrica pari, il risultato è positivo. Semplifichiamo la frazione: $$=\left(-\frac{3\cancel{a}b^5}{2a^{\cancel{2}}c^3}\right)^2$$ ed eleviamo al quadrato numeratore e denominatore moltiplicando gli esponenti delle lettere per 2 (vedi le proprietà delle potenze): $$=\frac{(3b^5)^2}{(2ac^3)^2}=\frac{9b^10}{4a^2c^6}

Le condizioni di esistenza sono date da: $$\mbox{C.E.:}\quad a\neq 0,\ c\neq 0$$

 

Elevamento a potenza 2

$$\left(\frac{a^2-b^2}{a^2+2ab+b^2}\right)^3=$$

In questo caso l'esponente è dispari, quindi resta il segno della base. Prima di eseguire la potenza, semplifichiamo la frazione algebrica: $$=\left(\frac{(a-b)\cancel{(a+b)}}{(a+b)^{\cancel{2}}}\right)^3=\frac{(a-b)^3}{(a+b)^3}$$

Le condizioni di esistenza sono: $$\mbox{C.E.:}\quad a\neq -b$$

 

Elevamento a potenza 3

$$\left(\frac{5xy}{a^2}\right)^{-2}$$

Possiamo subito determinare le condizioni di esistenza $$\mbox{C.E.:}\quad a\neq 0$$

Poichè, per definizione, $x^n=\frac{1}{x^n}$, possiamo scrivere: $$\left(\frac{5xy}{a^2}\right)^{-2}=\frac{1}{\left(\frac{5xy}{a^2}\right)^2}=\left(\frac{a^2}{5xy}\right)^2$$

Dobbiamo aggiungere nuove condizioni di esistenza: $$\mbox{C.E.:}\quad x\neq 0,\ y\neq 0$$

Dunque, svolgendo le potenze otteniamo $$\left(\frac{a^2}{5xy}\right)^2=\frac{a^4}{25x^2y^2}$$

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