Esercizi sulla scomposizione mediante regola di Ruffini

Scomponi in fattori i seguenti polinomi, mediante la regola di Ruffini

  1. $P_1(x)=2x^3+3x^2-17x-30$ (scomposizione)
  2. $P_2(xy)=3x^3y^3-22x^2y^2+3xy+28$ (scomposizione)
  3. $P_3(a)=a^5+32$ (scomposizione)

 

Polinomio 1

$$P_1(x)=2x^3+3x^2-17x-30$$

Cerchiamo, se ci sono, dei numeri interi che annullano il polinomio fra i divisori del termine noto, ossia $$\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 5,\dots$$

$$\begin{array}{l} P(+1)=2+3-17-30=-42\neq 0\\ P(-1)=2(-1)^3+3(-1)^2-17(-1)-30=\\ =-2+3+17-30=-12\neq 0\\ P(+2)=2(2)^3+3(2)^2-2\cdot 17-30=\\ =16+12-34-30=-36\neq 0\\ P(-2)=2(-2)^3+3(-2)^2-17(-2)-30=\\ =-16+12+34-30=0 \end{array}$$

Il polinomio è divisibile per $x+2$. Calcoliamo il quoziente con la regola di Ruffini (per approfondimento vai qui):

Scomposizione mediante Ruffini di un polinomio di terzo grado

Possiamo quindi scrivere: $$2x^3+3x^2-17x-30=(x+2)(2x^2-x-15)$$

Ripetendo il procedimento con il polinomio $2x^2-x-15$ troviamo che esso è divisibile per $x-3$, infatti: $$2(+3)^2-3-15=18-3-15=0$$

Nota che non è necessario ripetere il procedimento per 1 e per -1, perchè $(x-1)$ e $(x+1)$ non dividono nemmeno il polinomio $P_1(x)$ di partenza come abbiamo già visto. Applichiamo di nuovo la regola di Ruffini:

Scomposizione mediante Ruffini di un polinomio di secondo grado

Si ha: $$2x^2-x-15=(x-3)(2x+5)$$

La scomposizione richiesta è $$2x^3+3x^2-17x-30=(x+2)(x-3)(2x+5)$$

Vedremo in questo articolo che un qualsiasi trinomio di secondo grado riducibile, può essere scomposto più facilmente senza utilizzare la regola di Ruffini.

 

Polinomio 2

$$P_2(xy)=3x^3y^3-22x^2y^2+3xy+28$$

Riscriviamo il polinomio in modo da evidenziare la variabile $xy$ e trattarla come se fosse unica: $$P_2(xy)=3(xy)^3-22(xy)^2+3xy+28$$

Si vede che tra tutti i divisori di 28, -1 è uno di quelli che annulla il polinomio, infatti: $$P_2(-1)=3(-1)^3-22(-1)^2+3(-1)+28=-3-22-3+28=0$$

Il polinomio è quindi divisibile per $x+1$. Applichiamo la regola di Ruffini per calcolare il quoziente:

Scomposizione mediante Ruffini di un polinomio in xy di terzo grado

Quindi: $$3(xy)^3-22(xy)^2+3xy+28=(xy+1)(3(xy)^2-25xy+28)$$

Il polinomio $3(xy)^2-25xy+28$ si annulla per $xy=7$, infatti: $$P_2(4)=3\cdot 49-25\cdot 7+28=0$$

Il polinomio $3(xy)^2-25xy+28$ è divisibile per $x-7$. Troviamone il quoziente:

Scomposizione mediante Ruffini di un polinomio in xy di secondo grado

Si ha che: $$3(xy)^2-25xy+28=(xy-7)(3xy-4)$$

Dunque il polinomio scomposto è $$3x^3y^3-22x^2y^2+3xy+28=(xy+1)(xy-7)(3xy-4)

 

Polinomio 3

$$P_3(a)=a^5+32$$

È immediato capire che l'unico divisore di 32 che annulla il polinomio è -2: $$P_3(2)=(-2)^5+32=0$$

Dunque, il polinomio è divisibile per $a+2$. Applichiamo la regola di Ruffini:

Scomposizione mediante Ruffini di un polinomio di quinto grado $$a^5+32=(a+2)(a^4-2a^3+4a^2-8a+16)$$

Il polinomio non è più scomponibile dato che non ci sono altri divisori interi che lo annullano.

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