Pulsazione di un disco che oscilla a causa di due molle

Si consideri il disco omogeneo di raggio $R=20cm$ e massa $M=10kg$ di questo esercizio fissato al centro di un perno ideale, in modo da poter ruotare senza attrito. Due molle di costante $k=70N/m$ sono fissate ai punti materiali come mostrato in figura. Entrambe le molle sono a riposo quando la retta che unisce i due punti è perpendicolare alle molle, ovvero quando l'angolo $\theta$ in figura è uguale a 0. Si calcoli la pulsazione $\Omega$ per piccole oscillazioni intorno a $\theta =0$. (NB: per piccole oscillazioni le molle si possono considerare dritte e parallele alla direzione che hanno nella posizione di riposo).

Disco che oscilla a causa della forza elastica di due molle

Il disco ruota grazie alle forze elastiche $F_k$ generate dalle due molle. Il momento di tali forze rispetto al centro del disco è: $$F_k\cdot\frac{R}{2}\cdot\sin(90+\theta)$$

Scherma forze elastiche

Osservando che i momenti sono concordi (mediante la regola della mano destra il vettore risultante sbuca dal foglio), la seconda equazione cardinale del disco ruotante sarebbe: $$I\cdot\alpha=2F_k\cdot\frac{R}{2}\cdot\sin(90+\theta)\quad (1)$$ dove $I$ è il momento di inerzia del disco e delle masse puntiformi ad esso fissate: $$I=\frac{1}{2}(M+2m)R^2\quad (2)$$ e $\alpha$ è l'accelerazione angolare che conviene esprimerla in termini di derivata dello spostamento $\ddot{x}$: $$\alpha=\frac{\ddot{x}}{R}\quad (3)$$

Sostituendo (2) e (3) nell'equazione (1) e tenendo conto che la forza elastica $F_k=kx$ e $\sin(90°+\theta)=-\cos\theta$, otteniamo: $$\begin{array}{l} \frac{1}{2}(M+2m)R^{\cancel{2}}\cdot\frac{\ddot{x}}{\cancel{R}}=\cancel{2}kx\cdot\frac{R}{\cancel{2}}(-\cos\theta)\\ \frac{1}{2}(M+2m)\cdot\ddot{x}=-kx\cos\theta\quad (4) \end{array}$$

Per $\theta =0°$ la (4) diventa: $$\begin{array}{l} \frac{1}{2}(M+2m)\cdot\ddot{x}+kx=0\\ \ddot{x}+\frac{2k}{M+2m}\cdot x=0 \end{array}$$

Quest'ultima rappresenta l'equazione che regola le oscillazioni di un moto armonico la cui equazione generica è: $$\ddot{x}+\Omega ^2x=0$$

Per cui la pulsazione risulterà essere: $$\Omega=\sqrt{\frac{2k}{M+2m}}=\sqrt{\frac{140}{10+\frac{20}{3}}}=4.08\frac{1}{s}$$

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