Se sei capitato qui è perchè stai cercando di capire come riconoscere la distribuzione ipergeometrica e calcolare una certa probabilità di tale variabile indicata nel testo di un compito di statistica. Sei nel posto giusto perchè qui di seguito trovi degli esercizi di statistica che richiedono il calcolo della probabilità di una variabile aleatoria con distribuzione ipergeometrica.
Qui invece trovi problemi sulla distribuzione ipergeometrica da risolvere.
Buona lettura!
a) Indichiamo con $X$ la variabile aleatoria che indica il numero di domande corrette, con $M=20$ il numero totale di domande, con $n=4$ il numero di domande estratte e con $k$ il numero di domande a cui saprei rispondere dato da $$k=\frac{75\cdot 20}{100}$$
Si ha che $X$ ha distribuzione ipergeometrica $X\sim H(20,15,4)$ con funzione di massa di probabilità pari a $$P(X=x)=\frac{{{15}\choose {x}}{{5}\choose {4-x}}}{{{20}\choose{4}}}$$
Dato che per superare l'esame devo rispondere ad almeno 3 domande, deve essere $X\geq 3$, dunque, la probabilità richiesta al punto a) è: $$\begin{eqnarray} P(X\geq 3)&=& P(X=3)+P(X=4)=\\ &=&\frac{{{15}\choose {3}}{{5}\choose {1}}}{{{20}\choose{4}}}+\frac{{{15}\choose {4}}{{5}\choose {0}}}{{{20}\choose{4}}}=\\ &=&0.4696+0.2817 =0.7513\end{eqnarray}$$
b) Inoltre, dato che non posso ritentare l'esame se rispondo correttamente a meno di 2 domande, deve essere $x < 2$ e quindi la probabilità del punto b) è: $$\begin{eqnarray} P(X < 2)&=& P(X=0)+P(X=1)=\\ &=&\frac{{{15}\choose {0}}{{5}\choose {4}}}{{{20}\choose{4}}}+\frac{{{15}\choose {1}}{{5}\choose {3}}}{{{20}\choose{4}}}=\\ &=&0.001+0.031 =0.032\end{eqnarray}$$
Un'urna contiene 3 palline rosse e 5 blu. Si estraggono 3 palline in blocco (cioè tutte insieme). Se indichiamo con $X=k$ la v.a. discreta che conta il numero di palline rosse estratte (valori assunti da X:0,1,2,3), determinare:
a) Risulta molto evidente che la v.a. in questione ha distribuzione ipergeometrica $X\sim(8,3,3)$ che come visto nella parte teorica ha funzione di massa di probabilità pari a $$f(k)=P(X=k)=\frac{{{3}\choose {k}}{{5}\choose {3-k}}}{{{8}\choose{3}}},\quad k=0,1,2,3$$
Quindi abbiamo: $$\begin{eqnarray} f(k)&=&\frac{{{3}\choose {0}}{{5}\choose {3}}}{{{8}\choose{3}}}=\frac{5}{28}\\ f(1)&=&\frac{{{3}\choose {1}}{{5}\choose {2}}}{{{8}\choose{3}}}=\frac{15}{28}\\ f(2)&=&\frac{{{3}\choose {2}}{{5}\choose {1}}}{{{8}\choose{3}}}=\frac{15}{56}\\ f(3)&=&\frac{{{3}\choose {3}}{{5}\choose {0}}}{{{8}\choose{3}}}=\frac{1}{56}\end{eqnarray}$$
b) La funzione di distribuzione della variabile ipergeometrica (distribuzione di una v.a. discreta) è invece: $$F(k)=\begin{cases} 0 & k < 0\\ \sum\limits_{i=0}^kf(i) & k=0,1,2\\ 1 & k\geq 3\end{cases}$$
c) Infine, applicando la definizione di valore atteso per una v.a. discreta si ha: $$\begin{eqnarray} E(X)&=&\sum\limits_{i=0}^3f(i)\cdot i=\\ &=&f(0)\cdot 0+f(1)\cdot 1+f(2)\cdot 2+f(3)\cdot 3=\\ &=& \frac{15}{28}+\frac{15}{56}\cdot 2+\frac{1}{56}\cdot 3=\frac{9}{8}=1.125 \end{eqnarray}$$
Eserciziari di Matematica Generale, Analisi I e II, Statistica, Fisica e Algebra Lineare
