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Esercizi sulla funzione di densità e funzione di distribuzione risolti

In questa pagina svolgiamo una serie di problemi inerenti alle proprietà della funzione cumulativa o funzione di distribuzione (CDF) e della funzione di densità di probabilità (PDF). Nel dettaglio, i problemi di cui ci occuperemo sono i seguenti:

  1. Calcolo probabilità data la PDF di una V.A. continua
  2. Calcolo della CDF data la PDF di una V.A. discreta

Problema 1

Trovare la probabilità che una variabile aleatoria X avente la densità di probabilità $$f(x)=\begin{cases} x &\mbox{se } 0 < x < 1\\ 2-x &\mbox{se } 1\le x < 2\\ 0 &\mbox{altrimenti}\end{cases}$$ assuma valori

  1. a. fra 0,2 e 0,8;
  2. b. fra 0,6 e 1,2;
  3. c. maggiori di 1,8.

Per la proprietà sulla densità di probabilità si ha:

$\begin{array}{l} \mbox{a) } P(0,2 < X < 0,8)=\int\limits_{0,2}^{0,8}f(x)\ dx=\int\limits_{0,2}^{0,8}x\ dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0,2}^{0,8}=\frac{0,64}{2}-\frac{0,04}{2}=0,3\\ \mbox{b) } P(0,6 < X < 1,2)=\int\limits_{0,6}^{1,2}f(x)\ dx=\int\limits_{0,6}^{1}x\ dx+\int\limits_{1}^{1,2}(2-x)\ dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0,6}^1+\left[-\frac{(2-x)^2}{2}\right]_1^{1,2}=\frac{1}{2}-\frac{0,36}{2}-\frac{0,64}{2}+\frac{1}{2}=0,5\\ \mbox{c) } P(X > 1,8)=\int\limits_{1,8}^{2}f(x)\ dx=\int\limits_{1,8}^{2}(2-x)\ dx=\left[-\frac{(2-x)^2}{2}\right]_{1,8}^{2}=\frac{0,04}{2}=0,02\end{array}$

Risoluzione esercizio mediante il calcolo della funzione di ripartizione

Gli stessi risultati si possono ottenere ricavandoci la funzione di ripartizione F(X):

$\begin{array}{l} \mbox{Per } x < 0 & F(x)=0\\ \mbox{Per } 0\le x < 1 & F(x)=\int\limits_{0}^{x}f(t)\ dt=\int\limits_{0}^{x}t\ dt=\frac{x^2}{2}\\ \mbox{Per } 1\le x\le 2 & F(x)=\int\limits_{0}^{x}f(t)\ dt=\int\limits_{0}^{1}t\ dt+\int\limits_{1}^{x}(2-t)\ dt=\frac{1}{2}+\left[2t-\frac{t^2}{2}\right]_1^x=-\frac{x^2}{2}+2x-1\\ \mbox{Per } x > 2 & F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(t)\ dt=1\end{array}$

Dunque

$F(x)=\begin{cases} 0 &\mbox{se } x < 0\\ \frac{x^2}{2} &\mbox{se } 0\le x < 1\\ -\frac{x^2}{2}+2x-1 &\mbox{se } 1\le x\le 2\\ 1 &\mbox{se } x > 2\end{cases}$

Applicando la proprietà sulla funzione di ripartizione si ottengono le probabilità richieste:

$\begin{array}{l} \mbox{a) } P(0,2 < X < 0,8)=F(0,8)-F(0,2)=\frac{0,64}{2}-\frac{0,04}{2}=0,3\\ \mbox{b) } P(0,6 < X < 1,2)=F(1,2)-F(0,6)=-\frac{1,44}{2}+2,4-1-\frac{0,36}{2}=0,5\\ \mbox{c) } P(X > 1,8)=1-P(X < 1,8)=1-F(1,8)=1-\left(-\frac{1,8^2}{2}+3,6-1\right)=1-0,98=0,02\end{array}$

Problema 2

Sia data la funzione $$f(x)=\frac{x+13}{15}\quad\quad x=1,2,3.$$ Verificare che f(x) è una distribuzione di probabilità di una data variabile aleatoria discreta X e calcolare la funzione di ripartizione.

Dobbiamo verificare che siano soddisfatte le proprietà sulla densità di probabilità.

Sostituendo $x_1=1,\ x_2=2,\ x_3=3$ si ottiene:

$$f(1)=\frac{4}{15}\quad\quad f(2)=\frac{1}{3}\quad\quad f(3)=\frac{6}{15}$$

Questi valori sono tutti compresi fra 0 e 1; inoltre la loro somma vale 1: $$\frac{4}{15}+\frac{1}{3}+\frac{6}{15}=\frac{4+5+6}{15}=1$$

perciò la funzione assegnata è una distribuzione di probabilità discreta.

La distribuzione di probabilità può essere rappresentata anche sotto forma tabellare:

Funzione di densità di probabilità o distribuzione di probabilità

La funzione di distribuzione è definita invece dalla tabella seguente:

Funzione di distribuzione cumulativa o funzione di ripartizione

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