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Esercizi sul test di ipotesi per la differenza tra due medie

In questo articolo trovi tantissimi esempi ed esercizi svolti sulla verifica di ipotesi per la differenza tra due medie per grandi e piccoli campioni, con varianze conosciute o sconosciute e per dati appaiati e non.

Per una maggiore comprensione, ti invito la lettura della parte teorica dell'argomento che puoi raggiungere cliccando qui.

  1. Test di ipotesi sulla differenza tra due medie nel caso di grandi campioni
  2. Test di ipotesi sulla differenza tra due medie nel caso di piccoli campioni
  3. Test di ipotesi bilaterale sulla differenza tra due medie

Esercizio 1

In un campione casuale di 64 famiglie di tre componenti nella città A, il numero medio di automobili possedute è pari a 2.1 con unca deviazione standard $s_1=0.29$. In un campione casuale di 75 famiglie della stessa dimensione nella città B, il numero medio di automobili possedute è 1.7 con una deviazione standard $s_2=0.24$. Si determini se la media dei due gruppi può essere ritenuta uguale oppure $\mu_1 > \mu_2$ a livello $\alpha=0.01$

Indicando con $\mu_1$ e $\mu_2$ i valori medi rispettivamente delle popolazioni A e B, il sistema di ipotesi è banalmente $$\begin{cases} H_0: \mu_1-\mu_2=0\\ H_1: \mu_1-\mu_2 > 0\end{cases}$$

Trattandosi di due gruppi di dati indipendenti con numerosità campionaria $\geq 30$, la statistica test è la variabile con distribuzione normale standard: $$Z_{test}=\frac{\overline{x}_1-\overline{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}=\frac{2.1-1.7}{\sqrt{\frac{0.29^2}{64}+\frac{0.24^2}{75}}}=6$$

Il valore critico letto dalle tavole della distribuzione normale standard in corrispondenza di un livello di significatività $\alpha=0.01$ è $z_{1-\alpha}=z_{0.99}=2.33$.

L'esito del test è "rifiuto $H_0$ dato che $Z_{test}=6>z_{0.99}=2.33$ e quindi possiamo concludere dicendo che i valori medi del numero di automobili possedute non è uguale per i due gruppi A e B.

Esercizio 2

In seguito a un'indagine sul contenuto di energia metabolizzante (in kcal per grammo) di due diversi tipi di cibo per gatti, si sono avuti i risultati esposti nella tabella seguente:

Dati per il confronto tra due medie

Si verifichi che i due tipi di cibo abbiano lo stesso contenuto di energia metabolizzabile contro l'alternativa che il cibo B abbia un contenuto superiore. Si ponga $\alpha=0.05$. Si assuma che valgano le condizioni standard per l'applicazione del t test.

Indicando con $\mu_1$ e $\mu_2$ i valori medi rispettivamente delle popolazioni A e B, il sistema di ipotesi è banalmente $$\begin{cases} H_0: \mu_1-\mu_2=0\\ H_1: \mu_1-\mu_2 < 0\end{cases}$$

Calcolata la varianza congiunta $$S=\frac{(n_1-1)s_A^2+(n_2-1)s_B^2}{n_1+n_2-2}=\frac{27\cdot 0.26^2+28\cdot 0.35^2}{28+29-2}=0.096$$ la statistica test è la variabile con distribuzione t di Student $$T_{test}=\frac{\overline{x}_1-\overline{x}_2}{\sqrt{S^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}=\frac{1.19-1.54}{\sqrt{0.096\left(\frac{1}{28}+\frac{1}{29}\right)}}=-4.375$$

I gradi di libertà sono $\nu = 28+29-2=55$ e il valore critico corrispondente a $\alpha=0.05$ letto dalle tavole della t di Student è: $$t_{0.05}(55)=1.67$$

L'esito del test è "rifiuto $H_0$" perchè $T_{test}=-4.375 < -t_{0.05}(55)=-1.67$.

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