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Esercizi sul Teorema di Bayes risolti

Definito il concetto di probabilità condizionata e capito il Teorema di Bayes, siamo pronti a risolvere esercizi applicando appunto i concetti appena menzionati. In particolare, in questo articolo, ti mostrerò come calcolare le probabilità di eventi condizionati utilizzando il teorema di Bayes o semplicemente la definizione di probabilità condizionata.

Qui sotto alcuni problemi risolti.

  1. Probabilità di trovare una ragazza bionda supposto che ha gli occhi scuri
  2. Probabilità che un pesce avvistato in acqua da un turista sia un delfino
  3. Probabilità di trovare ristoranti aperti su due strade diverse di un paese
  4. Applicazione dell'equilibrio di Hardy-Weinberg

Problema 1

In un paese scandinavo il $70\%$ delle ragazze ha i capelli biondi, il $20\%$ li ha rossi, il $10\%$ mori. Risulta poi che ha gli occhi scuri il $10\%$ delle bionde, il $25\%$ delle rosse, il $50\%$ delle more. Se la ragazza con cui ho fatto amicizia tramite internet mi fa sapere che ha gli occhi scuri, che probabilità c'è che sia bionda?

Indichiamo con $B$ la percentuale di ragazze bionde, con $R$ quella delle ragazze rosse e con $M$ quella delle ragazze more. Inoltre, chiamiamo $S=$ "la ragazza ha gli occhi scuri".

Raggruppiamo i dati forniti dal testo nella seguente tabella riassuntiva:

Esercizio sul teorema di Bayes

Dalla tabella si evince che le probabilità che le ragazze abbiano un determinato colore dei capelli sono:

$$P(B)=0,7\quad P(R)=0,2\quad P(M)=0,1$$

ed inoltre, le probabilità che le ragazze abbiano gli occhi scuri condizionate dal colore dei capelli sono:

$$P(S|B)=0,1\quad P(S|R)=0,25\quad P(S|M)=0,5$$

Possiamo rispondere al quesito posto, semplicemente applicando il Teorema di Bayes:

$$\begin{array}{l} P(B|S)&=\frac{P(B)\cdot P(S|B)}{P(B)P(S|B)+P(R)P(S|R)+P(M)P(S|M)}=\\ &=\frac{0,7\cdot 0,1}{0,7\cdot 0,1+0,2\cdot 0,25+0,1\cdot 0,5}\simeq 0,41=41\%\end{array}$$

Problema 2

Durante una gita in barca un turista afferma di vedere un delfino. In quelle acque, si possono trovare delfini (il $90\%$ delle volte) e squali (il $10\%$ delle volte). A causa del riflesso della luce solare, un turista può identificare correttamente il tipo di pesce con una probabilità del $70\%$. Quanto vale la probabilità che il pesce avvistato dal turista sia veramente un delfino?

Definiamo i seguenti eventi:

$T=$ "Il turista vede un delfino".

$D=$ "Il pesce avvistato è un delfino".

$S=$ "Il pesce avvistato è uno squalo" $=\overline{D}$ = "Il pesce avvistato non è un delfino".

Abbiamo che $P(D)=0.9=\frac{9}{10}$, $P(S)=0.1=\frac{1}{10}$.

Inoltre si hanno le seguenti probabilità condizionate: $P(T|D)=0.7=\frac{7}{10}$ e $P(T|S)=P(T|\overline{D})=1-P(T|D)=\frac{3}{10}$.

La probabilità richiesta è $P(D|T)$.

Innanzitutto calcoliamo $P(T)$ mediante il Teorema sulla Probabilità Totale:

$$P(T)=P(T|D)*P(D)+P(T|S)*P(S)=\frac{7}{10}*\frac{9}{10}+\frac{3}{10}*\frac{1}{10}=\frac{66}{100}$$

Calcoliamo $P(T\cap D)$ mediante la probabilità condizionata:

$$P(T\cap D)=P(T|D)*P(D)=\frac{7}{10}*\frac{9}{10}=\frac{63}{100}$$

Ed infine possiamo trovare la probabilità richiesta:

$$P(D|T)= \frac{P(T\cap D)}{P(T)}=\frac{63/100}{66/100}=\frac{63}{66}$$

Problema 3

Ci sono $2$ strade, una a sinistra e una a destra. In quella a sinistra ci sono $3$ ristoranti di cui $2$ soli sono aperti, mentre a destra ce ne sono $5$ di cui solo $3$ aperti. Calcolare

  1. la probabilità di trovare un ristorante aperto
  2. sapendo che ho trovato un ristorante aperto, qual è la probabilità che abbia scelto la strada di destra? E quella di sinistra?

Poniamo:

  • $D=$ "scelgo la strada di destra",
  • $S=$ "scelgo la strada di sinistra",
  • $A=$ "il ristorante è aperto".

La probabilità di trovare un ristorante aperto, per il Teorema sulla probabilità totale, possiamo calcolarla nel seguente modo

$$P(A)=P(D)P(A|D)+P(S)P(A|S)=\frac{1}{2}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\frac{2}{3}=\frac{19}{30}\simeq 0,63$$

dove $P(A|D)$ è la probabilità di trovare un ristorante aperto supposto che ho preso la strada di destra, mentre $P(A|S)$ è quella di trovare un ristorante aperto supposto che ho preso la strada di sinistra.

La probabilità di scegliere la strada di destra sapendo che ho trovato un ristorante aperto, per il Teorema di Bayes è:

$$P(D|A)=\frac{P(D\cap A)}{P(A)}=\frac{P(A|D)\cdot P(D)}{P(A)}=\frac{3/10}{19/30}=\frac{9}{19}=0,474$$

Per trovare invece la probabilità di scegliere la strada di sinistra sotto la stessa condizione, posso riapplicare il teorema di Bayes opuure semplicemente notare che vale:

$$P(S|A)=1-P(D|A)=1-\frac{9}{19}=\frac{10}{19}=0,526$$

Problema 4

Il colore del manto di una specie di gibboni è determinata geneticamente da un gene con due possibili alleli: l'allele "A" dominante del manto aranciato e l'allele "m" recessivo del manto marrone. La popolazione che stai studiando soddisfa le ipotesi della legge di Hardy-Weinberg, e sai che il 60% degli alleli nella popolazione sono "A" e il 40% sono "m". Qual è la probabilità che un gibbone preso a caso nella popolazione abbia il manto aranciato

  1. non avendo nessun’altra informazione? (risoluzione)
  2. sapendo che il padre ha il manto aranciato e la madre il manto marrone? (risoluzione)
  3. sapendo soltanto che il padre ha il manto aranciato? (risoluzione)
  4. sapendo soltanto che la madre ha il manto marrone? (risoluzione)
  5. sapendo che il padre e la madre hanno il manto marrone? (risoluzione)

PUNTO 1

Calcoliamo le probabilità dei diversi genotipi, $p_{AA}, p_{Am}$ e $p_{mm}$, usando la legge di Hardy-Weinberg essendo $p_A=0.6$ la frequenza dell'allele "A" e $p_m=0.4$ la frequenza dell'allele "m": $$\begin{eqnarray} p_{AA}&=& p_A\cdot p_A=0.6\cdot 0.6=0.36\\ p_{Am}&=& 2\cdot p_A\cdot p_m=2\cdot 0.4\cdot 0.6=0.48\\ p_{mm}&=& p_m\cdot p_m=0.4\cdot 0.4=0.16\end{eqnarray}$$

La probabilità che un gibbone abbia il manto aranciato è dato dalla somma delle probabilità di avere almeno un allele di tipo "A": $$p_{AA}+p_{Am}=0.36+0.48=0.84$$

PUNTO 2

Il genotipo del padre può essere $p_{AA}$ o $p_{Am}$, mentre quello della madre è necessariamente $p_{mm}$. La probabilità che il padre abbia il manto aranciato e la madre abbia il manto marrone è quindi: $$(p_{AA}+p_{Am})p_{mm}$$

Se il padre ha genotipo $p_{AA}$ il figlio ha sempre il manto aranciato, mentre se il padre ha genotipo $p_{Am}$ il figlio ha il manto aranciato con probabilità $1/2$. Pertanto, la probabilità condizionata cercata è: $$\frac{\left(p_{AA}+\frac{1}{2}p_{Am}\right)p_{mm}}{(p_{AA}+p_{Am})p_{mm}}=\frac{5}{6}$$

PUNTO 3

Come per il punto precedente, il genotipo del padre può essere $p_{AA}$ o $p_{Am}$. Se è $p_{AA}$, il figlio ha sempre il manto aranciato, indipendentemente dal genotipo della madre. Se invece è $p_{Am}$, il manto del figlio dipende dal genotipo della madre: in particolare, se la madre è $p_{AA}$ il figlio ha sempre il manto aranciato, se la madre $p_{Am}$ il figlio ha il manto aranciato con probabilità $3/4$, e se la madre è $p_{mm}$ il figlio ha il manto aranciato con probabilità $1/2$. La probabilità condizionata cercata è quindi: $$\frac{p_{AA}+p_{Am}\left(p_{AA}+\frac{3}{4}p_{Am}+\frac{1}{2}p_{mm}\right)}{p_{AA}+p_{Am}}=\frac{93}{105}$$

PUNTO 4

Ragionando come sopra, se il padre ha genotipo $p_{AA}$ il figlio ha sempre il manto aranciato, se il padre ha genotipo $p_{Am}$ il figlio ha il manto aranciato con probabilità $1/2$, mentre se il padre ha genotipo $p_{mm}$ il figlio non ha mai il manto aranciato. La probabilità condizionata è quindi: $$\frac{\left(p_{AA}+\frac{1}{2}p_{Am}\right)p_{mm}}{p_{mm}}=\frac{3}{5}$$

PUNTO 5

In questo caso il figlio non può avere il manto aranciato, la probabilità è quindi 0.

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