Sia data una popolazione avente valor medio $\mu_X=100$ e varianza $\sigma_X^2=43$. Detti $\overline{X}$ la media campionaria ed $n$ la numerosità del campione, calcolare le seguenti probabilità utilizzando il Teorema del Limite Centrale:
Per rispondere a tutti e 3 i quesiti, è giustificato utilizzare il Teorema del Limite Centrale poiché la dimensione del campione risulta maggiore o uguale a 30.
Rispondiamo al quesito a. ricordando dapprima che, per il teorema di cui sopra, il numero aleatorio dipendente dalla media campionaria è tale che
$$Z=\frac{\overline{X}-\mu_X}{\frac{\sigma_X}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$$
Dunque, si ha:
$P(\overline{X}\le 101)=P\left(\frac{\overline{X}-100}{\sqrt{\frac{43}{100}}}\le\frac{101-100}{\sqrt{\frac{43}{100}}}\right)=P(Z\le 1,52)=0,9357$
In modo analogo si calcolano le probabilità del punto b. e c.:
$\mbox{b. } P(\overline{X} > 98)=P\left(\frac{\overline{X}-100}{\sqrt{\frac{43}{165}}} > \frac{98-100}{\sqrt{\frac{43}{165}}}\right)=P(Z > -3,92)=P(Z < 3,92)\simeq 1$
$\begin{array}{l} \mbox{c. }P(101\le\overline{X}\le 103)&=P\left(\frac{101-100}{\sqrt{\frac{43}{64}}}\le\frac{\overline{X}-100}{\sqrt{\frac{43}{64}}}\le\frac{103-100}{\sqrt{\frac{43}{64}}}\right)=P(1,22\le Z\le 3,66)=\\ &=P(Z\le 3,66)-P(Z < 1,22)\simeq 0,9999-0,8888=0,1111\end{array}$
Eserciziari di Matematica Generale, Analisi I e II, Statistica, Fisica e Algebra Lineare
