Sia data la funzione logaritmica $f(x)=x^2(1-2\log x)$
Quale delle seguenti affermazioni è FALSA?
Studiamo la funzione seguendo i soliti 5 passi.
Campo di esistenza
Poichè la funzione presenta un $\log$ dobbiamo porre il suo argomento maggiore di $0$. Il campo di esistenza sarà dunque:
$$x>0$$
Positività
$$\begin{array}{l} &x^2(1-2\log x)>0\quad\Rightarrow\quad 1-2\log x>0\quad\Rightarrow\\ &\Rightarrow\quad 1-\log x^2>0\quad\Rightarrow\quad\log x^2 < 1\quad\Rightarrow\quad x^2 < e\end{array}$$
Risolvendo quest'ultima disequazione trovo le soluzioni $-\sqrt{e} < x < \sqrt{e}$, ma poichè la funzione è definita soltanto per $x>0$, la funzione è positiva solo per $x < \sqrt{e}$.
Limiti
$$\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x^2(1-2\log x)=\left[0\cdot\infty\right]$$
che è una forma indeterminata. Sciogliamola:
$$x^2(1-2\log x)=\frac{1-2\log x}{\frac{1}{x^2}}$$
Applicando il teorema di de l'H$\hat{o}$pital a quest'ultima espressione otteniamo:
$$\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{1-2\log x}{\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{-\frac{2}{x}}{-\frac{2x}{x^4}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{2}{x}\frac{x^4}{2x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x^2=0$$
$$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^2(1-2\log x)=-\infty$$
Derivata prima
$$\begin{array}{l} f'(x)&=2x(1-2\log x)+x^2\left(-\frac{2}{x}\right)=2x(1-2\log x)-2x=\\ &=2x(1-2\log x-1)=2x(-2\log x)\end{array}$$
Studiamo il segno della derivata prima ponendola maggiore di $0$:
$$2x(-2\log x)>0\quad\Rightarrow\quad -2\log x>0\quad\Rightarrow\quad \log x < 0\quad\Rightarrow\quad x < 1$$ 
Notiamo dal grafico che la funzione presenta un punto di massimo relativo per $x=1$.
Derivata seconda
$$f''(x)=2(-2\log x)+2x\left(-\frac{2}{x}\right)=-4\log x-4=-4(\log x+1)$$
Sudiamo il segno della derivata seconda:
$$-4(\log x+1)>0\quad\Rightarrow\quad \log x+1 < 0 \quad\Rightarrow\quad \log x < -1 \quad\Rightarrow\quad x < \frac{1}{e}$$
Dunque, la funzione è convessa per $x < \frac{1}{e}$ e concava per $x>\frac{1}{e}$.
Ecco il grafico completo della funzione proposta:
Rivediamo le risposte:
La 1) è chiaramente falsa perchè in $\left]0,\frac{1}{e}\right[$ la $f$ è convessa.
La 2) è verà perchè $f(\sqrt{e})=0$.
La 3) è vera perchè la funzione assume tutti i valori da $-\infty$ a $1$.
La 4) è banalmente vera perchè la funzione ha solo un massimo relativo.
La 5) è falsa perchè, affinchè una funzione sia invertibile in $]0,2[$, deve essere monotona (crescente o decrescente). Ma in tale intervallo la funziona non è né crescente, né decrescente, per cui $f$ non è invertibile.
Eserciziari di Matematica Generale, Analisi I e II, Statistica, Fisica e Algebra Lineare
