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Esercizi sulla scomposizione riconducibile a prodotti notevoli

Scomposizione di un trinomio riconducibile ad un quadrato di binomio Scomposizione di un trinomio riconducibile ad un quadrato di binomio

Scomponi in fattori riconoscendo i prodotti notevoli

  1. $25a^2-9$ (scomposizione)
  2. $\frac{25}{3}a^2-3b^2$ (scomposizione)
  3. $(5x-2)^2-4x^2$ (scomposizione)
  4. $25a^2+30ab+9b^2$ (scomposizione)
  5. $a^4+2a^2b^2+4b^4$ (scomposizione)
  6. $x^2-y^2-1-2y$ (scomposizione)
  7. $(a+b)^2+4(a+b)+4-b^2$ (scomposizione)
  8. $9a^2+4b^2+1-12ab+6a-4b$ (scomposizione)
  9. $4a^2+4b^2+c^2+4ab+4ac+4bc$ (scomposizione)
  10. $x^3+3x^2+3x+1$ (scomposizione)
  11. $8a^3-6a^2b+6ab^2-b^3$ (scomposizione)
  12. $8a^3+b^3$ (scomposizione)
  13. $x^6+y^3$ (scomposizione)

Polinomio 1

$$25a^2-9$$

Essendo $25a^2$ il quadrato di $5a$ e $9$ il quadrato di $3$, possiamo scomporre mediante la differenza di quadrati: $$25a^2-9=(5a+3)(5a-3)$$

Polinomio 2

$$\frac{25}{3}a^2-3b^2$$

In questo caso, bisogna prima raccogliere $\frac{1}{3}$: $$\frac{25}{3}a^2-3b^2=\frac{1}{3}(25a^2-9b^2)=$$

E poi applicare il metodo di scomposizione mediante differenza di quadrati come fatto per il polinomio 1: $$=\frac{1}{3}(5a+3b)(5a-3b)$$

Polinomio 3

$$(5x-2)^2-4x^2$$

Anche qui possiamo scomporre ricordando la scomposizione somma per differenza: $$\begin{array}{l} (5x-2)^2-4x^2=\\ =[(5x-2)+2x][(5x-2)-2x]=\\ =[5x-2+2x][5x-2-2x]=\\ =(7x-2)(3x-2)\end{array}$$

Polinomio 4

$$25a^2+30ab+9b^2$$

Individuiamo i due termini del trinomio che possono essere dei quadrati e ricaviamone le basi: $$25a^2=(5a)^2\quad\mbox{e}\quad 9b^2=(3b)^2$$

Controlliamo che il doppio prodotto delle basi trovate sia uguale all'altro termine del trinomio: $$2(5a\cdot 3b)=30ab$$

Allora possiamo scrivere il trinomio come quadrato del binomio formato dalle due basi trovate, legate dal segno che precede il doppio prodotto: $$25a^2+30ab+9b^2=(5a+3b)^2$$

Qui in basso è schematizzato il procedimento per ricondurre il trinomio ad un quadrato di binomio:

Schema per la scomposizione di un trinomio

Polinomio 5

$$a^4+2a^2b^2+4b^4$$

Tale trinomio non è il quadrato di un binomio, perchè il doppio prodotto di $a^2$ e $2b^2$ non è $2a^2b^2$, ma $4a^2b^2$. Pertanto non possiamo scomporlo.

Polinomio 6

$$x^2-y^2-1-2y$$

Osserviamo che gli ultimi 3 termini rappresentano lo sviluppo di un quadrato di binomio se mettiamo in evidenza un segno $-$: $$x^2-y^2-1-2y=x^2-(y^2+1+2y)=x^2-(y+1)^2=$$

Notiamo una differenza di quadrati: $$=[x-(y+1)][x+(y+1)]=(x-y-1)(x+y+1)$$

Polinomio 7

$$(a+b)^2+4(a+b)+4-b^2$$

Anche questo, come il polinomio 6, è un esempio di differenza di quadrati quando almeno un quadrato non è un monomio. Quindi, ragionando allo stesso modo si ha: $$\begin{array}{l} (a+b)^2+4(a+b)+4-b^2=\\ =[(a+b)+2]^2-b^2=\\ =[(a+b)+2-b][(a+b)+2+b]=\\ =(a+2)(a+2b+2)\end{array}$$

Polinomio 8

$$9a^2+4b^2+1-12ab+6a-4b$$

Siamo chiaramente in presenza di un polinomio con 6 termini riconducibile al quadrato di un trinomio, come dimostra il ragionamento seguente.

Individuiamo i tre termini del polinomio che possono essere dei quadrati e ricaviamocene le basi: $$9a^2=(3a)^2,\quad 4b^2=(2b)^2,\quad 1=1^2$$

Controlliamo che i valori assoluti dei doppi prodotti siano uguali ai valori assoluti degli altri termini: $$12ab=2(3a\cdot 2b),\quad 6a=2(3a\cdot 1),\quad 4b=2(2b\cdot 1)$$

Analizziamo allora i segni dei doppi prodotti:

  1. $3a$ e $2b$ sono discordi poichè il loro prodotto è negativo ($-12ab$)
  2. $3a$ e $1$ sono concordi poichè il loro prodotto è positivo ($+6a$)
  3. $2b$ e $1$ sono discordi poichè il loro prodotto è negativo ($-4b$)

Dunque, dalla 2. si deduce che $3a$ e $1$ hanno lo stesso segno, mentre dalla 1. e dalla 3. segue che $2b$ ha segno opposto. Abbiamo perciò due possibili scomposizioni: $$\begin{array}{l} 9a^2+4b^2+1-12ab+6a-4b=(3a-2b+1)^2\\ 9a^2+4b^2+1-12ab+6a-4b=(-3a+2b-1)^2\end{array}$$

Polinomio 9

$$4a^2+4b^2+c^2+4ab+4ac+4bc$$

Come prima, si ha: $$4a^2=(2a)^2,\quad 4b^2=(2b)^2,\quad c^2=(c)^2$$

Ci accorgiamo però, che il termine $4ab$ non è il doppio prodotto tra $2a$ e $2b$, infatti: $$2(2a\cdot 2b)=8ab\neq 4ab$$

Dunque il polinomio non è riconducibile al quadrato di trinomio.

Polinomio 10

$$x^3+3x^2+3x+1$$

Un polinomio formato da 4 termini può essere riconducibile al cubo di un binomio.

Individuaimo i due termini del quadrinomio che possono essere dei cubi e ricaviamone le basi: $$x^3=(x)^3,\quad 1=1^3$$

Verifichiamo la presenza dei relativi tripli prodotti: $$3x^2=3\cdot x^2\cdot 1,\quad 3x=3\cdot x\cdot 1^2$$

Pertanto: $$x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3$$

Polinomio 11

$$8a^3-6a^2b+6ab^2-b^3$$

Seguiamo lo stesso procedimento cercando di applicare il metodo di scomposizione mediante il cubo di un binomio.

I due termini del quadrinomio che possono essere dei cubi e le loro rispettive basi sono: $$8a^3=(2a)^3,\quad -b^3=(-b)^3$$

Ma il primo triplo prodotto non coincide con il termine $-6a^2b$ infatti: $$3\cdot (2a)^2\cdot (-b)=-12a^2b\neq -6a^2b$$

Dunque il quadrinomio non è riconducibile al cubo di binomio.

Polinomio 12

$$8a^3+b^3$$

Questo polinomio è la somma di due cubi che si scompone facilmente individuando i due cubi: $$A=2a,\quad B=b$$

Quindi possiamo scrivere: $$\begin{array}{l} 8a^3+b^3=(2a)^3+(b)^3=\\ =(2a+b)[(2a)^2-2ab+b^2]=\\ =(2a+b)(4a^2-2ab+b^2)\end{array}$$

Polinomio 13

$$x^6+y^3$$

Anche per questo polinomio possiamo applicare il metodo di scomposizione mediante la somma di cubi. Infatti i cubi sono: $$A=x^2,\quad B=y$$

Possiamo quindi scomporre la somma di cubi nel modo seguente: $$\begin{array}{l} x^6+y^3=(x^2)^3+y^3=\\ =(x^2+y)(x^4-x^2y+y^2)\end{array}$$

Consulta altri esercizi svolti sulla scomposizione dei polinomi

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