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La scomposizione in fattori dei polinomi

Scomporre in fattori un polinomio significa scriverlo sotto forma di prodotto di polinomi, tutti di grado inferiore.

Esempio di scomposizione in fattori di un polinomio

Consideriamo il polinomio $$x^4-1$$

Una sua prima scomposizione è data dal prodotto notevole somma per differenza per la quale si ha: $$x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$$

Questa scomposizione, però, non è terminata, in quanto uno dei due fattori, $x^-1$, può essere scomposto ulteriormente in quanto ancora differenza di quadrati: $$x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$$

Invece $x^2+1$ non è scomponibile. Si dice che il polinomio $x^4-1$, scomponibile in fattori, è riducibile, mentre $(x-1),\ (x-1),\ (x^2+1)$ sono irriducibili.

Un polinomio in una o più variabili è riducibile quando può essere scomposto nel prodotto di polinomi, tutti di grado minore. Un polinomio non riducibile si chima irriducibile.

Purtroppo non esiste un metodo generale per ottenere la scomposizione di un polinomio riducibile. Studiamo allora alcuni dei metodi più comuni di fattorizzazione, basati su regole algebriche che conosciamo. I metodi sono:

Il raccoglimento a fattore comune

Questo metodo si utilizza quando in tutti i termini di un polinomio è contenuto uno stesso fattore. In questo caso, infatti, è possibile metterlo in evidenza con un raccoglimento a fattore comune:

Esempio di raccoglimento a fattore comune

$$\begin{array}{l} ab+ac+ad=a(b+c+d)\\ 5x^4-10x^3-35x^2=5x^2(x^2-2x-7)\end{array}$$

Osservazione sui polinomi irriducibili

I polinomi $2x^2+2$, $3x^2+3$, $4x^2+8\dots$ sono tutti irriducibili, perchè non è possibile scomporli nel prodotto di due polinomi entrambi di grado inferiore. Tuttavia è possibile raccogliere un fattore numerico in comune: $$\begin{array}{l} 2x^2+2=2(x^2+1)\\ 3x^2+3=3(x^2+1)\\ 4x^2+8=4(x^2+2)\end{array}$$

Vai agli esercizi sul raccoglimento a fattore comune

Il raccoglimento parziale

Questo è un metodo di scomposizione in 2 fasi che viene utilizzato quando nel polinomio sono presenti fattori comuni distinti per ogni gruppo di termini. Ad esempio, supponiamo di avere un polinomio di questo tipo: $$ac+bc+ad+bd+ae+be=$$

I primi 2 termini hanno in comune il fattore $c$, il terzo e il quarto il fattore $d$, il quinto e il sesto il fattore $e$. Raccogliamo i fattori comuni: $$=c(a+b)+d(a+b)+e(a+b)=$$

Il polinomio è ora formato da una somma di 3 termini, che hanno in comune il fattore $(a+b)$. Raccogliamo $(a+b)$: $$=(a+b)(c+d+e)$$

Scomposizione polinomio mediante raccoglimento parziale

Vai agli esercizi sul raccoglimento parziale

La scomposizione riconducibile a prodotti notevoli

I prodotti notevoli ci forniscono delle regole di scomposizione in fattori. A queste si aggiungono 2 particolari regole della differenza e della somma di due cubi:

$$\begin{eqnarray} A^3-B^3 &=& (A-B)(A^2+AB+B^2)\\ A^3+B^3 &=& (A+B)(A^2-AB+B^2)\end{eqnarray}$$

Esempio di scomposizione mediante prodotti notevoli

Il polimonio $$9x^2-y^4$$ è formato da 2 termini.

Fra i prodotti notevoli che conosciamo soltanto 3 sono formati da 2 termini: $A^2-B^2$, $A^3-B^3$ e $A^3+B^3$.

Fra questi solo due contengono una sottrazione: $A^2-B^2$ e $A^3-B^3$.

Poichè $9x^2=(3x)^2$ e $y^4=(y^2)^2$, il polinomio può essere visto come differenza di quadrati.

Essendo $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$, possiamo scrivere: $$9x^2-y^4=(3x-y^2)(3x+y^2)$$

Vai agli esercizi sulla scomposizione tramite prodotti notevoli

La scomposizione di particolari trinomi di secondo grado

In generale, un trinomio di secondo grado del tipo $x^2+sx+p$, è scomponibile nel prodotto $(x+a)(x+b)$ se $s=a+b$ e $p=ab$. In altri termini si ha:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)}$$

Esempio di scomposizione di un trinomio di 2° grado

Scomposizione di un trinomio di secondo grado

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La scomposizione mediante il teorema e la regola di Ruffini

Ricordiamo che il teorema di Ruffini ci dice che se troviamo uno zero $a$ del polinomio $A(x)$ (un valore che sostituito all'incognita $x$ fa annullare il polinomio), sappiamo che il binomio $x-a$ sarà uno dei fattori del polinomio e quindi sappiamo il polinomio si potrà scomporre come il prodotto di due fattori:

$$A(x)=(x-a)Q(x)$$

dove $Q(x)$ è il quoziente della divisione $A(x):(x-a)$.

Ma come troviamo gli zeri di un polinomio? La regola dice che possiamo limitarci a cercare gli zeri di un polinomio a coefficienti interi fra i divisori del termine noto, ma non ci assicura che gli zeri esistano.

Applicazione della regola di Ruffini per la scomposizione di un polinomio

Dato il polinomio $$A(x)=5x^2-x-4$$ i divisori di -4 sono: $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4$.

Sostituendo a $x$ il valore 1, otteniamo: $$A(1)=5-1-4=0$$ quindi il polinomio è divisibile per $x-1$.

Calcoliamo il quoziente applicando la regola di Ruffini.

Scomposizione polinomio mediante regola di Ruffini

Pertanto $$5x^2-x-4=(x-1)(5x+4)$$

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