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Esercizi di matematica

Derivate di funzioni composte

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In questa pagina trovi esercizi svolti sul calcolo di derivate di funzioni composte e derivate di somme algebriche, prodotti e rapporti. Ti ricordo che per derivare una funzione composta del tipo $f(g(x))$ devi per prima calcolare la derivata della funzione più esterna, $f$ e poi trovare la derivata della funzione più interna, $g$, cioè: $$D[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)$$

Calcoliamo le derivate delle seguenti funzioni:

  1. $y=(x^2-3)^2$
  2. $y=\sqrt{e^x-1}$
  3. Esercizio svolto sulla derivata di un rapporto: $y=\cfrac{\ln x}{\sqrt{x}}$
  4. $y=\cfrac{\ln x}{\sqrt{x^2+1}}$
  5. Esercizio svolto sulla derivata di un prodotto: $y=\cfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\cdot\log_3 x$
  6. $y=\cfrac{4-x}{x}\cdot e^x$

 

Esercizio 1

$y=(x^2-3)^2$

 

Svolgimento

$$\begin{array}{l}D\left[(x^2-3)^2\right]=\\ 2(x^2-3)^{2-1}=\\ 2x^2-6\end{array}$$

 

 

 

Esercizio 2

$y=\sqrt{e^x-1}$

 

 

Svolgimento

$$\begin{array}{l}D\left[\sqrt{e^x-1}\right]=\\ \cfrac{1}{2\sqrt{e^x-1}}\cdot D[e^x-1]=\\ \cfrac{1}{2\sqrt{e^x-1}}\cdot e^x=\\ \cfrac{e^x}{2\sqrt{e^x-1}}\end{array}$$

 

Esercizio 3

$y=\cfrac{\ln x}{\sqrt{x}}$

 

 

Svolgimento

$$\begin{array}{l}D\left[\cfrac{\ln x}{\sqrt{x}}\right]=\\ \cfrac{\frac{1}{x}\cdot\sqrt{x} - \ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{\left(\sqrt{x}\right)^2}=\\ \cfrac{\frac{\sqrt{x}}{x}-\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}}{|x|}=\\ \cfrac{2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}-x\cdot\ln x}{2x\cdot\sqrt{x}}\cdot\cfrac{1}{|x|}=\\ \cfrac{2|x|-x\ln x}{2x^2\cdot\sqrt{x}}\end{array}$$

 

Esercizio 4

$y=\cfrac{\ln x}{\sqrt{x^2+1}}$

 

 

Svolgimento

$$\begin{array}{l}D\left[\cfrac{\ln x}{\sqrt{x^2+1}}\right]=\\ \cfrac{\frac{1}{x}\cdot\sqrt{x^2+1} - \ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot D[x^2+1]}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2}=\\ \cfrac{\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}-\frac{\ln x}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x}{|x^2+1|}=\\ \cfrac{x^2+1-x^2\cdot\ln x}{x\cdot\sqrt{x^2+1}}\cdot\cfrac{1}{x^2+1}=\\ \cfrac{x^2+1-x^2\ln x}{x\cdot\sqrt{x^2+1}(x^2+1)}\end{array}$$

 

Esercizio 5

$y=\cfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\cdot\log_3 x$

 

 

Svolgimento

Qui abbiamo bisogno di riscrivere la radice al denominatore come potenza con esponente frazionario e portarla al numeratore: $$\cfrac{1}{\sqrt[3]{x}}=\cfrac{1}{x^{1/3}}=x^{-1/3}$$
$$\begin{array}{l}D\left[\cfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\cdot\log_3 x\right]=\\ D\left[x^{-1/3}\cdot\log_3 x\right]=\\ -\cfrac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1} \cdot\log_3 x+ x^{-1/3}\cdot \frac{1}{x\ln 3}=\\  -\cfrac{1}{3x^{4/3}}\cdot \log_3 x+\cfrac{1}{x^{4/3}\cdot \ln 3}=\\ -\cfrac{1}{3\sqrt[3]x^4}\cdot \log_3 x+\cfrac{1}{\sqrt[3]x^4\cdot \ln 3} \end{array}$$

 

Esercizio 6

$y=\cfrac{4-x}{x}\cdot e^x$

 

Svolgimento

$$\begin{array}{l}D\left[\cfrac{4-x}{x}\cdot e^x\right]=\\ \cfrac{-1\cdot x-(4-x)\cdot 1}{x^2}\cdot e^x+\cfrac{4-x}{x}\cdot e^x=\\  \cfrac{-x-4+x}{x^2}\cdot e^x+\cfrac{4-x}{x}\cdot e^x =\\ e^x\left(-\cfrac{4}{x^2}+\cfrac{4-x}{x}\right)=\end{array}$$

 

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