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Esercizi sui polinomi

Condizioni di esistenza delle frazioni algebriche

Introduciamo questa lezione dicendo che per determinare le condizioni di esistenza di una frazione algebrica è necessario porre il denominatore diverso da zero e risolvere la disuguaglianza che ne viene fuori.

Determiniamo le condizioni di esistenza delle seguenti frazioni:

  1. $\cfrac{5x-1}{2x+3}$
  2. $\cfrac{2x-5}{x^2-4}$
  3. $\cfrac{4a}{a^2+1}$
  4. $\cfrac{a-4}{a^5-81a}$
  5. $\cfrac{3a+2b}{a+b}$
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$$\cfrac{5x-1}{2x+3}$$

Esercizio 1

Come già accennato, dobbiamo porre il denominatore diverso da zero: $$\mbox{C.E.:}\quad 2x+3\neq 0,\ \mbox{ossia}\ x\neq -\frac{3}{2}$$

Dunque è escluso un solo valore della variabile $x$.

$$\cfrac{2x-5}{x^2-4}$$

Esercizio 2

Riconoscendo il binomio differenza di quadrati e scomponendolo si ottiene: $$\mbox{C.E.:}\quad x^2-4\neq 0,\ \mbox{ossia}\ (x+2)(x-2)\neq 0$$

Per la legge di annullamento del prodotto, il prodotto è 0 se e soltanto se almeno uno dei due fattori è 0, quindi deve essere: $$\begin{cases} x+2\neq 0\\ x-2\neq 0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases} x\neq -2\\ x\neq 2\end{cases}$$

Le parentesi graffe (simbolo di sistema) stanno ad indicare che le due condizioni devono valere entrambe. In modo equivalente possiamo scrivere: $$\mbox{C.E.:}\quad x\neq\pm 2$$

Dunque sono eslusi due valori della variabile $x$.

$$\cfrac{4a}{a^2+1}$$

Esercizio 3

$$\mbox{C.E.:}\quad a^2+1\ne 0$$

Questo è vero per ogni numero reale $a$, infatti $a^2$ è sempre maggiore o uguale a 0, dunque $a^2+1$ e sempre maggiore di 0 (e non uguale a 0).

Pertanto non viene esluso nessun valore della variabile e in questi casi scriveremo: $$\mbox{C.E.:}\quad\forall a\in\mathbb R$$

$$\cfrac{a-4}{a^5-81a}$$

Esercizio 4

Scomponiamo in fattori il denominatore mettendo il termine $a$ a fattore comune: $$a^5-81a=a(a^4-81)=$$

$a^4-81$ puo essere riscritto come differenza di due quadrati $(a^2)^2-9^2$ e quindi essere ulteriormente scomposto: $$=a(a^2+9)(a^2-9)=a(a^2+9)(a+3)(a-3)$$

Per la legge dell'annullamento del prodotto, nessuno dei fattori deve essere uguale a 0, quindi: $$\begin{cases} a\neq 0\\ a+3\neq 0\\ a-3\neq 0\end{cases}\Rightarrow\quad\mbox{C.E.:}\begin{cases} a\neq 0\\ a\neq -3\\ a\neq 3\end{cases}$$

$$\cfrac{3a+2b}{a+b}$$

Esercizio 5

$$\mbox{C.E.:}\quad a+b\neq 0,\ \mbox{ossia}\ a\neq -b$$
La scrittura $a\neq -b$ significa che i valori di $a$ e di $b$ non devono essere uguali e opposti. Pertanto sono escluse tutte le coppie del tipo: $$\begin{cases} a&=1\\ b&=-1\end{cases},\ \begin{cases} a&=-0,5\\ b&=0,5\end{cases},\ \begin{cases} a&=100\\ b&=-100\end{cases},\ \mbox{ecc.}$$
Dunque sono esclusi infiniti valori delle variabili.

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