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Esercizi di elettrostatica

Applicazione del teorema di Gauss: campo elettrostatico di una lastra infinitamente carica

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Il campo elettrostatico generato da una lastra infinitamente carica (positivamente o negativamente) è un vettore con direzione perpendicolare alla lastra stessa, il cui verso dipende dal segno della carica (carica positiva - campo uscente; carica negativa - campo entrante) e il cui modulo è costante e non dipende dal punto in cui si calcola in campo elettrico ma solo dalla densità superficiale di carica, in particolare sarà a essa proporzionale.

Infatti, se definiamo la densità superficiale di carica $\sigma$ come la carica per unità di superficie $$\sigma = \frac{Q}{S} \frac{C}{m^2}$$ si ha che il modulo campo elettrostatico generato dalla lastra è $$E = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$$

Quest'ultima formula è una pura applicazione del teorema di Gauss. Consideriamo una superficie cilindrica le cui basi hanno area $A$ posto in modo che le sue due basi risultino parallele alla lastra. 

 

campo elettrico lastra infinitamente carica

 

Il flusso del campo elettrico attraverso il cilindro è dato soltanto dal flusso attraverso le due basi: infatti la perpendicolare alle due basi risulta parallela al vettore campo elettrico e il coseno dell'angolo formato risulta $\cos 0 = 1$ (per vedere la definizione di flusso clicca qui). La superficie laterale non dà invece alcun contributo in quanto il vettore a esso perpendicolare, risulterà perpendicolare anche al vettore campo elettrico e quindi il coseno dell'angolo che essi formano sarà nullo.

Il flusso sarà quindi $$\Phi = 2 \cdot A \cdot E$$(nota che il fattore "2" è dovuto alla somma dei contributi del flusso sulle due basi del cilindro).

Adesso, indicata con $Q$ la carica contenuta dentro la superficie cilindrica, sappiamo per il Teorema di Gauss che il flusso del campo elettrico generato da una distribuzione di cariche su una superficie chiusa è il rapporto tra la carica contenuta dalla superficie e la costante dielettrica nel vuoto, cioè $$2 \cdot A \cdot E = \frac{Q}{\epsilon_0}$$da cui ricaviamo che $$E = \frac{Q}{2 \epsilon_0 \cdot A} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$$

Esempio
Una lastra infinitamente estesa ha una densità superficiale di carica pari a $2 nC/m^2$. Determinare il modulo del campo elettrico.

Abbiamo già osservato che il modulo del campo elettrico è $$E= \frac{\sigma}{2 \cdot \epsilon_0}$$
L'unica cosa a cui bisogna stare attenti è convertire i nano coulomb in coulomb, moltiplicando per $10^{-9}$. Quindi si ha $$E= \frac{2 \cdot 10^{-9}}{2 \cdot 8,9 \cdot 10^{-12}} = 0.112 \cdot 10^3 = 112 N/C$$

Fonte: Phisica2000, A. Caforio, A. Ferilli.

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