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Simmetrie: funzioni pari e dispari

La ricerca di eventuali simmetrie della funzione rappresenta un passaggio molto importante durante lo studio di una funzione. Infatti, vedremo che, se una funzione è pari o dispari risultano molto più semplici e rapidi i calcoli dato che basta limitare lo studio ad una metà del suo dominio, ossia $x>0$.

Funzioni pari

Una funzione $f(x)$ si dice pari se vale la seguente relazione:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{f(-x)=f(x)}$$

Una funzione pari è quindi simmetrica rispetto l'asse $\overrightarrow{y}$. In termini di grafico, questo significa che la parte di funzione per $x>0$ è speculare alla parte di funzione per $x<0$.

Esempio di funzione pari

$$f(x)=x^2\log x^2$$

La funzione è pari perchè sostituendo $-x$ al posto di $x$ ottengo sempre la $f(x)$:

$$f(-x)=(-x)^2\log (-x)^2=x^2\log x^2=f(x)$$ Esempio di funzione pari

Funzioni dispari

Una funzione $f(x)$ si dice dispari se vale la seguente relazione:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{f(-x)=-f(x)}$$

Una funzione dispari è quindi simmetrica rispetto l'origine degli assi. Stavolta, abbiamo 2 assi di simmetria: la prima bisettrice, cioè la retta che divide in due parti uguali il 1º e il 3º quadrante e la seconda bisettrice, ovvero, la retta che divide in due parti uguali il 2º e il 4º quadrante.

Esempio di funzione dispari

$$f(x)=-xe^{x^2-1}$$

Tale funzione è dispari poichè, calcolando la $f$ in $-x$ ottengo l'opposto della $f$:

$$f(-x)=-\left[(-x)e^{(-x)^2-1}\right]=xe^{x^2-1}=-\left[-xe^{x^2-1}\right]=-f(x)$$ Esempio di funzione dispari

Osservazione

Nota che i grafici non possono essere tracciati se non viene effettuato uno studio completo della funzione. In questo articolo sono stati inseriti con lo scopo di dare un'idea grafica di funzione pari e funzione dispari.

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