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Monotonia e segno della derivata prima

In questo articolo spiegheremo come determinare in quali intervalli una funzione è crescente e in quali è decrescente, utilizzando delle condizioni necessarie ma anche sufficienti.

Funzioni crescenti e decrescenti

Per prima cosa, definiamo quando una funzione si dice crescente o descrescente in un punto:

Una funzione $f:X\rightarrow\mathbb R$, con $X\subseteq\mathbb R$ si dice crescente in un punto $x_0\in X$, se esiste un intorno di tale punto $I(x_0)\subseteq X$ tale che:

  1. $f(x) < f(x_0)$ per qualunque $x$ appartenente all'intorno sinistro $I_-(x_0)$
  2. $f(x) > f(x_0)$ per qualunque $x$ appartenente all'intorno destro $I_+(x_0)$

Grafico di una funzione crescente in un punto

Analogamente si dice decrescente in un punto $x_0\in X$, se esiste un intorno di tale punto $I(x_0)\subseteq X$ tale che:

  1. $f(x) > f(x_0)$ per qualunque $x$ appartenente all'intorno sinistro $I_-(x_0)$
  2. $f(x) < f(x_0)$ per qualunque $x$ appartenente all'intorno destro $I_+(x_0)$

Grafico di una funzione decrescente in un punto

Diamo adesso la definizione di funzione crescente o decrescente in un intervallo.

Sia $f:(a,b)\rightarrow\mathbb R$ una funzione e siano $x_1,x_2\in (a,b)$. Si dice che $f$ in $(a,b)$ è:

  • CRESCENTE $\mbox{ se per}\quad x_1 < x_2\in (a,b)\Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
  • NON DECRESCENTE $\mbox{ se per}\quad x_1 < x_2\in (a,b)\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)$
  • DECRESCENTE $\mbox{ se per}\quad x_1 < x_2\in (a,b)\Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$
  • NON CRESCENTE $\mbox{ se per}\quad x_1 < x_2\in (a,b)\Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2)$

Osservazione

Una funzione non deve essere necessariamente continua in $x_0$ per essere ivi crescente o decrescente.

Grafico di funzioni discontinue rispettivamente crescente e decrescente in un punto

Condizioni sufficienti per la crescenza o la decrescenza in un punto

In questo paragrafo diamo delle condizioni sufficienti affinchè una funzione risulti crescente o decrescente in un punto.

Sia $f:(a,b)\rightarrow\mathbb R$ una funzione derivabile in un punto $x_0\ (a,b)$. Si ha:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{f'(x_0)>0\quad\Rightarrow\quad f\mbox{ crescente in } x_0}$$ $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{f'(x_0)<0\quad\Rightarrow\quad f\mbox{ decrescente in } x_0}$$

Osservazione 1 sulla C.S.

L'ipotesi di derivabilità non è un'ipotesi necessaria affinchè una funzione sia crescente o decrescente.

Infatti esistono funzioni continue, crescenti ma non derivabili in $x_0$. Questo è il caso della funzione

$$f(x)=\begin{cases} x & \mbox{se } x\ge 0\\ 2x & \mbox{se } x < 0\end{cases}$$

Dal grafico possiamo vedere che la funzione non è derivabile in $x_0=0$ ma ivi continua e crescente.

Grafico di funzione continua, crescente ma non derivabile

Osservazione 2 sulla C.S.

La condizione data è sufficiente ma non necessaria, nel senso che non vale il viceversa del teorema.

Infatti esistono funzioni crescenti e derivabili in $x_0$ con $f'(x_0)=0\not >0$. Ad esempio la parabola semicubica

$$f(x)=x^3$$

nel punto $x_0=0$ è derivabile e la sua derivata vale $0$

Grafico di funzione continua, crescente ma non derivabile

Tuttavia, la condizione sufficiente, diventa necessaria se includiamo pure lo zero come valore della derivata.

Condizioni necessarie per la crescenza o decrescenza in un punto

Sia $f:(a,b)\rightarrow\mathbb R$ una funzione derivabile in un punto $x_0\ (a,b)$. Si ha:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{f\mbox{ crescente in } x_0\quad\Rightarrow\quad f'(x_0)\ge 0}$$ $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{f\mbox{ decrescente in } x_0\quad\Rightarrow\quad f'(x_0)\le 0}$$

Determinazione della monotonia di una funzione

Vediamo un esempio pratico su come determinare gli intervalli in cui una data funzione è crescente oppure decrescente.

Determinare in quali intervalli la funzione $$f(x)=\log\frac{1}{x^2-1}$$ è crescente oppure decrescente

Innanzitutto determiniamo il campo di esistenza della funzione:

$$\frac{1}{x^2-1}>0\quad\Rightarrow\quad x^2-1 \quad\Rightarrow\quad x<-1\ \vee x>1$$

Adesso calcoliamo la derivata prima della funzione e la poniamo maggiore di 0:

$$f'(x)=\frac{1}{\frac{1}{x^2-1}}\cdot \left(-\frac{2x}{(x^2-1)^2}\right)=-\frac{2x(x^2-1)}{(x^2-1)^2}\ge 0 \quad\Rightarrow\quad -2x>0 \quad\Rightarrow\quad x < 0$$

Dato che $x^2-1>0\ \forall x\in C.E.$.

Per finire mettiamo a sistema il C.E. con il segno della derivata prima trovato:

$$\begin{cases} x<-1\ \vee x>1\\ x < 0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad x < -1$$

Possiamo graficare il segno della derivata prima, notando che la funzione risulta crescente in $]-\infty, -1[$ e decrescente in $]-1,+\infty[$.

Grafico del segno della derivata prima

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