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Calcolo dominio di funzioni

In questo articolo mostreremo come determinare il dominio di funzioni del tipo:

Inizieremo col dare delle indicazioni generali per determinare il campo di esistenza in base al tipo di funzione che si presenta. Dopodichè illustreremo alcuni esempi pratici sulla determinazione del campo di esistenza

Per determinare il dominio o campo di esistenza di una funzione $f(x)$ bisogna trovare l'insieme di quei valori della variabile $x$ tali per cui la $f(x)$ abbia significato ed escludere, quindi, quei valori di $x$ per i quali la $f(x)$ risulta essere non definita. In particolare:

  1. Le frazioni del tipo $\frac{h(x)}{g(x)}$ hanno come dominio l'insieme delle $x$ tali che il denominatore è diverso da zero, ovvero $g(x)\neq 0$ poichè in matematica non sono ammesse le divisioni per zero.
  2. Le radici del tipo $\sqrt[n]{f(x)}$ con $n$ pari sono definite solo nell'insieme delle $x$ tali che il radicando è maggiore o uguale a zero ovvero il dominio si calcola imponendo $f(x)\ge 0$, poichè non possiamo calcolare le radici di numeri negativi.
  3. Le funzioni logaritmiche del tipo $\log_b f(x)$ hanno senso solo l'argomento del logaritmo è strettamente maggiore di zero, ossia, il dominio in questo ultimo caso si calcola imponendo che $f(x)>0$. Infatti per definizione di logaritmo l'argomento non può essere negativo o uguale a zero.
  4. La funzione trigonometrica tangente del tipo $\tan[f(x)]$ ha come dominio tutti quei valori di $x$ che rendono il suo argomento diverso da pigreco mezzi più eventuale molteplicità, ossia: $$f(x)\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$$
  5. Le funzioni trigonometriche inverse di seno e coseno ossia arcoseno e arcocoseno, sono definite per tutti quei valori di $x$ per i quali i loro argomenti stanno nell'intervallo $[-1,1]$. In sostanza, il dominio delle funzioni del tipo $\arcsin[f(x)]$ e $\arccos[f(x)]$ è $-1\leq f(x)\leq 1$

Nel caso in cui la funzione in esame richiedesse l'imposizione di due o più condizioni, il dominio si calcola facendone il sistema.

Calcolo del dominio di funzioni fratte

Calcoliamo il dominio delle seguenti funzioni

  1. $f(x)=\frac{x^2-x+4}{2x-1}$
  2. $f(x)=\frac{x+1}{x^2+2x-8}$
  3. $f(x)=\frac{x+3x^2}{x^2+1}$

Calcoliamo il dominio della 1):

La funzione si presenta sotto forma di frazione, il cui denominatore può annullarsi. Quindi, per trovare il dominio, dobbiamo imporre che il denominatore deve essere diverso da zero:

$$2x-1\neq 0\quad\Leftrightarrow\quad 2x\neq 1 \quad\Leftrightarrow\quad x\neq\frac{1}{2}$$

Per graficare il dominio della funzione, disegnamo la retta verticale $x=\frac{1}{2}$ con una croce in corrispondenza del punto $\left(\frac{1}{2},0\right)$ per evidenziare che la funzione non interseca tale retta.

Grafico del dominio di una funzione razionale fratta

Calcoliamo il dominio della 2):

Analogamente al caso precedente, poniamo il denominatore diverso da 0 e risolviamo la disuguaglianza: $$x^2+2x-8\neq 0\quad\Leftrightarrow\quad x\neq-4\ \wedge\ x\neq 2$$

Stavolta, per graficare il dominio, dobbiamo disegnare le due rette $x=-4$ e $x=2$ in corrispondenza delle quali faremo una crocetta:

grafico del campo di esistenza di una funzione razionale fratta

Calcoliamo il dominio della 3):

L'ultima funzione è invece definita per ogni valore di $x$ dato che il denominatore $x^2+1$ non si annulla per alcun valore della detta variabile. Per tale motivo, il grafico di questo dominio sarà costituito solo dagli assi cartesiani.

Rappresentazione grafica del dominio che include tutti i valori di x

Calcolo del dominio di funzioni irrazionali

Calcoliamo il dominio delle seguenti funzioni

  1. $f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$
  2. $f(x)=\sqrt[3]{x^2+5x}$
  3. $f(x)=\frac{6\sqrt{x+1}+7\sqrt{4-x}}{x^2-7x+6}$

Calcoliamo il dominio della 1).

Poichè il radicale della prima funzione è di indice pari, la funzione è definita per quei valori di $x$ soddisfacienti la disequazione di secondo grado $$x^2-4x+3\geq 0\ \Rightarrow\ x\leq 1\ \vee\ x\geq 3$$

Il suo grafico consiste in due porzioni di piano distinte poste una alla sinistra della retta $x=1$ e l'altra alla destra della retta $x=3$. Di conseguenza, l'intervallo $(1,3)$ è escluso dal grafico e può essere cancellato: ciò significa che nell'intervallo $(1,3)$ non ci sarà nessun punto della funzione. Invece, i punti $A(1;0)$ e $B(3;0)$ sono appartenenti al grafico, ossia sono punti della funzione.

Rappresentazione grafica del campo di esistenza di una funzione irrazionale

Il dominio della seconda funzione, invece, è $\forall x\in\mathbb{R}$ dato che l'indice del radicale è dispari. Graficamente, il dominio sarà rappresentato da tutto il piano cartesiano.

Calcoliamo il dominio della 3).

La funzione è irrazionale fratta ed entrambi i radicali sono di indice pari; essa è pertanto definita per i valori di x soluzioni del sistema: $$\begin{cases} x+1\geq 0\\ 4-x\geq 0\\ x^2-7x+6\neq 0\end{cases}$$ e quindi per i valori di x soddisfacenti le condizioni $$\begin{cases} x\geq -1\\ x\leq 4\\ x\neq 1\ \wedge\ x\neq 6\end{cases}$$

Riportiamo sulla retta reale le soluzioni appena trovate e segnamo in blu la parte a comune:

Sistema tra le condizioni di esistenza per il calcolo di un dominio

Il campo di esistenza sarà dunque $-1\leq x\leq 4\ \wedge x\neq 1$. Inoltre, risulta utile calcolare il valore assunto dalla funzione agli estremi del dominio, ossia nei punti $x=-1$ e $x=4$: $$\begin{eqnarray*} f(-1)&=&\frac{6\sqrt{-1+1}+7\sqrt{4-(-1)}}{(-1)^2-7(-1)+6}=\frac{\sqrt{5}}{2}\\ f(4)&=&\frac{6\sqrt{4+1}+7\sqrt{4-4}}{4^2-7\cdot 4+6}=-\sqrt{5}\end{eqnarray*}$$

Deduciamo che i punti $A\left(-1;\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$ e $B(4,\sqrt{5})$ sono punti appartenenti al dominio della funzione che rappresentiamo qui sotto:

Rappresentazione grafica del campo di esistenza di una funzione irrazionale fratta

Calcolo del dominio di funzioni logaritmiche

Calcoliamo il dominio delle seguenti funzioni

  1. $f(x)=\frac{\log 2x +1}{x}$
  2. $f(x)=\log(16-x^2)$

Calcoliamo il dominio della 1):

la funzione presenta un doppio problema: un denominatore e la presenza di un logaritmo. Per risolvere il primo bisogna porre il denominatore diverso da zero, per risolvere il secondo bisogna porre l'argomento del logaritmo maggiore di zero. Entrambe le condizioni vanno messe a sistema:

$$\begin{cases} x\neq 0\\ 2x > 0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x\neq 0\\ x > 0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x >0$$

Tale dominio viene rappresentato escludendo dal grafico la parte di semipiano con $x\le0$ (vedi figura qui sotto).

Grafico del dominio di una funzione logaritmica fratta

Troviamo il dominio della 2):

La funzione logaritmica è definita per tutti quei valori di $x$ che rendono il suo argomento maggiore di $0$, quindi il dominio si trova svolgendo la disequazione di secondo grado: $$16-x^2>0\ \Rightarrow\ -4 < x < 4$$

Il suo grafico di funzione si compone di un'unica porzione di piano compresa tra le rette $x=-4$ e $x=4$. Inoltre, in corrispondenza di tali rette dobbiamo tracciare una croce per indicare l'esclusione delle ascisse $\pm 4$ dal grafico.

Grafico del dominio di una funzione logaritmica

Calcolo del dominio di funzioni esponenziali

Calcoliamo il dominio delle seguenti funzioni

  1. $f(x)=2^{x+1}$
  2. $f(x)=3^{\frac{x}{x+1}}$
  3. $f(x)=(x+4)^x$

La prima è una funzione esponenziale a base numerica positiva e pertanto è definita per ogni valore di $x$

Anche la seconda è una funzione esponenziale a base numerica positiva; essa è definita per ogni valore di $x$, eccetto per lo zero del denominatore dell'esponente, e quindi per ogni $x\neq 1$ (omettiamo il grafico perchè la sua rappresentazione consiste semplicemente nel disegnare la retta $x=1$ ed escluderla dal grafico ponendo una croce su di essa).

Affinchè sia definita la terza funzione, deve essere $$x+4>0\ \Rightarrow\ x>-4$$

Il suo diagramma giace perciò tutto alla destra della retta $x=4$ (devo quindi cancellare tutta la regione di grafico a sinistra di tale retta).

Calcolo del dominio di funzioni trigonometriche

Calcoliamo il dominio delle seguenti funzioni

  1. $f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$
  2. $f(x)=\frac{1}{\cos x}$
  3. $f(x)=\tan\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)$

Le prime due funzioni sono entrambe trigonometriche e periodiche di periodo $2\pi$. La prima è definita per ogni valore di $x$, mentre la seconda per i valori di $x$ per i quali risulta $\cos x\neq 0$ e pertanto per ogni $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$. Il suo grafico si compone di infiniti rami separati l'uno dall'altro dalle rette $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$.

Il dominio della terza funzione, essendo la tangente non definita a $\frac{\pi}{2}$, si trova ponendo il suo argomento diverso da pigreco mezzi appunto: $$3x+\frac{\pi}{4}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\ \Rightarrow\ x\neq\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{3}$$

Calcolo del dominio di funzioni trigonometriche inverse

Calcoliamo il dominio della funzione $$f(x)=\arcsin\frac{x-1}{x}$$

Tale funzione è definita per quei valori di $x$ tali che l'argomento $\frac{x-1}{x}$ sia compreso tra -1 e 1 ed inoltre deve essere pure $x\neq 0$. Mettendo a sistema le due condizioni suddette $$\begin{cases} -1\leq\frac{x-1}{x}\leq 1\\ x\neq 0\end{cases}\ \Leftarrow\ \begin{cases} \frac{x-1}{x}\leq 1\\ \frac{x-1}{x}\geq -1 x\neq 0\end{cases}$$ e risolvendo otteniamo $x\geq\frac{1}{2}$.

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