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Convessità e segno della derivata seconda

In questo articolo spiegheremo come determinare in quali intervalli una funzione è convessa e in quali è concava (con concavità verso il basso), utilizzando delle condizioni necessarie ma anche sufficienti.

Funzioni convesse e concave

Dapprima, definiamo quando una funzione si dice convessa o concava in un punto:

Una funzione $f:(a,b)\rightarrow\mathbb R$ si dice convessa (o il grafico volge la concavità verso l'alto) se $\forall x_1,x_2\in (a,b)$ con $x_1\neq x_2$, ogni punto del segmento di estremi $P_1=(x_1, f(x_1))$ e $P_2=(x_2, f(x_2))$ ha ordinata $\ge$ della corrispondente ordinata della funzione nel punto stesso.

In particolare diciamo che $f$ è strettamente convessa se è convessa e non ha tratti lineari.

Funzioni convesse e strettamente convesse

Una funzione $f:(a,b)\rightarrow\mathbb R$ si dice concava (o il grafico volge la concavità verso il basso) se $\forall x_1,x_2\in (a,b)$ con $x_1\neq x_2$, ogni punto del segmento di estremi $P_1=(x_1, f(x_1))$ e $P_2=(x_2, f(x_2))$ ha ordinata $\le$ della corrispondente ordinata della funzione nel punto stesso.

In particolare diciamo che $f$ è strettamente concava se è concava e non ha tratti lineari.

Funzioni concave e strettamente concave

Osservazioni sulle funzioni concave e convesse

  1. Nei tratti in cui una $f$ è lineare, essa è contemporanemante concava e convessa;
  2. Se una $f$ non è definita in un intervallo non ha senso parlare di convessità o concavità;

C.N.S. sulla concavità di una funzione

Enunciamo adesso alcuni teoremi che mettono in evidenza delle proprietà sulle funzioni convesse e concave.

Teorema 1

Se $f(a,b)\rightarrow\mathbb R$ è una funzione convessa oppure concava, allora $f$ è continua in $]a,b[$ ed esistono finite le derivate prime destra e sinistra in ogni punto di $]a,b[$.

Teorema 2

Il seguente teorema fornisce una condizione necessaria e sufficiente per la concavità di una funzione, analoga alle condizioni sufficienti per la monotonia di una funzione

Se $f(a,b)\rightarrow\mathbb R$ è una funzione derivabile in $]a,b[$ si ha:

  1. $f$ convessa $\Leftrightarrow$ $f'$ è non decrescente
  2. $f$ concava $\Leftrightarrow$ $f'$ è non crescente

Teorema 3

Il seguente teorema dà una caratterizzazione più rigorosa delle funzioni convesse e concave.

Se $f(a,b)\rightarrow\mathbb R$ è una funzione derivabile in $]a,b[$, $\forall x_0\in (a,b)$ si ha:

  1. $f$ convessa $\Leftrightarrow$ $f(x)\ge f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\quad\forall x\in (a,b)\setminus\{x_0\}$
  2. $f$ concava $\Leftrightarrow$ $f(x)\ge f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\quad\forall x\in (a,b)\setminus\{x_0\}$

Tale risultato ha una facile interpretazione geometrica. Infatti, poichè $f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ rappresenta l'equazione della retta tangente al grafico di funzione nel punto $x_0$, una funzione convessa si troverà al di sopra di tale retta, mentre, una funzione concava si troverà al di sotto. La figura sottostante spiega meglio il concetto.

Grafico della funzione con retta tangente per stabilirne la convessità

Caratterizzazione della convessità di una funzione mediante studio della derivata seconda

Sia $f(a,b)\rightarrow\mathbb R$ una funzione tale che esiste $f''$ in $]a,b[$. Allora si ha:

  1. $f$ convessa in $]a,b[\quad\Leftrightarrow$ $f''(x)\ge 0\quad\forall x\in ]a,b[$
  2. $f$ concava $]a,b[\quad\Leftrightarrow$ $f''(x)\le 0\quad\forall x\in ]a,b[$

Esempio di calcolo della concavità di una curva

Studiare la concavità della funzione:

$$f(x)=x^2\cdot\log x$$

Per trovare gli intervalli in cui la funzione è concava e quelli in cui è convessa utilizziamo l'ultimo teorema appena enunciato calcolando dapprima la derivata prima e poi la derivata seconda della $f$.

$$f'(x)=2x\log x+x^2\cdot\frac{1}{x}=2x\log x+x$$ $$f''(x)=2\log x+2x\cdot\frac{1}{x}+1=2\log x+3$$

La funzione sarà convessa negli intervalli in cui la derivata seconda è positiva:

$$f''(x)>0\quad\Leftrightarrow\quad 2\log x+3>0 \quad\Leftrightarrow\quad \log x>-\frac{3}{2} \quad\Leftrightarrow\quad x>e^{-\frac{3}{2}}\quad\Leftrightarrow\quad x>\frac{1}{\sqrt{e^3}}$$

Graficando il risultato ottenuto sulla retta reale, e considerando che il dominio della $f$ è $x>0$, possiamo concludere dicendo che la funzione data è concava in $\left]0,\frac{1}{\sqrt{e^3}}\right[$ e convessa in $\left]\frac{1}{\sqrt{e^3}},+\infty\right[$ Studio del segno della derivata seconda

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