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Giovedì, 01 Marzo 2018 10:46

Problemi sul grafico della derivata prima

Sia $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ una funzione continua in $\mathbb R$ e derivabile in $\mathbb R\setminus\{-1,1\}$. Si assuma che il grafico della sua derivata $f':\mathbb R\setminus\{-1,1\}\rightarrow\mathbb R$ sia il seguente: grafico derivata 2-07-2013 quali tra le seguenti asserzioni è FALSA:

  1. $f$ ha un massimo assoluto e un minimo relativo.
  2. $f$ è superiormente limitata.
  3. Se $f(0)=1$, allora $max f(x)=2$.
  4. Se $f(0)=1$, allora $\int_{-1}^1f(x)\ dx=0$.
  5. $f$ è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate.

$x=0$ è un punto di minimo relativo per $f$ poichè in tale punto la derivata si annulla e $f'(x)<0$ per $x<0$ e $f'(x)>0$ per $x>0$. Inoltre, $f$ presenta due punti di massimo assoluto. Infatti, l'espressione analitica della $f'$ è:

$$f'(x)=\begin{cases} 2&\mbox{se }x<-1\\ 2x&\mbox{se }-1<x<1\\ -2&\mbox{se }x>1\end{cases}$$

da cui possiamo ricavarci le sue primitive per ognuno dei tre intervalli:

$$f(x)=\begin{cases} 2x+k&\mbox{se }x<-1\\ x^2+q&\mbox{se }-1<x<1\\ -2x+h&\mbox{se }x>1\end{cases}\quad\mbox{con }k,q,h\in\mathbb R$$

Poichè, per ipotesi la $f$ è continua, i limiti destro e sinistro nei punti $x=-1$ e $x=1$ devono coincidere:

$$\lim\limits_{x\rightarrow-1^-}2x+k=-2+k=\lim\limits_{x\rightarrow-1^+}x^2+q=1+q$$ $$\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}x^2+q=1+q=\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}-2x+h=-2+h$$

Deve essere, quindi, soddisfatto il seguente sistema:

$$\begin{cases} -2+k=1+q\\ 1+q=-2+h\end{cases}$$

ovvero quando $h=k$ e $k=3+q$. In tal modo la $f$ può essere riscritta come segue:

$$f(x)=\begin{cases} 2x+3+q&\mbox{se }x<-1\\ x^2+q&\mbox{se }-1<x<1\\ -2x+3+q&\mbox{se }x>1\end{cases}\quad\mbox{con }q\in\mathbb R$$

e il suo grafico (a meno dell'incognita $q$) è il seguente:

grafico di funzione a partire dal grafico della derivata

Adesso possiamo ben vedere che la funzione è limitata superiormente e presenta due punti di massimo assoluto per $x=-1$ e $x=1$. Inoltre, la $f$ risulta simmetrica rispetto l'asse $\vec{y}$. Nota che non abbiamo graficato l'asse $\vec{x}$ poichè il grafico si trasla verso il basso o verso l'alto a seconda che il parametro $q$ diminuisca o aumenti.

Per quello detto, la 1), la 2) e la 5) sono vere.

Se $f(0)=1$, dall'espressione della $f$ segue subito che $q=1$, pertanto, si ha:

$$f(x)=\begin{cases} 2x+4&\mbox{se }x<-1\\ x^2+1&\mbox{se }-1<x<1\\ -2x+4&\mbox{se }x>1\end{cases}$$

Il massimo viene raggiunto quando $x=1$ o $x=-1$ e si ha $max f(x)=f(-1)=f(1)=2$. Anche la 3) è vera.

La risposta FALSA è la 4) infatti, se $f(0)=1$ si ha:

$$\int\limits_{-1}^1x^2+1\ dx=\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_{-1}^1=\frac{1}{3}+1+\frac{1}{3}+1=\frac{8}{3}\neq 0$$


 

Sia $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ una funzione continua in $\mathbb R$, la cui derivata $f':\mathbb R\setminus\{-1,0,1\}\rightarrow\mathbb R$ ha il seguente grafico: grafico derivata 03-09-2013 Si assuma che $f(-1)=1$. Quali tra le seguenti asserzioni è VERA?

  1. $f$ ha un massimo assoluto ma non un minimo assoluto.
  2. Esistono al più due valori distinti $x_1,x_2\in\mathbb R$ tali che $f(x_1)=f(x_2)=0$.
  3. $\int_{-1}^1f(x)\ dx=0$.
  4. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}f(x)$ non esiste.
  5. Nessuna delle altre risposte.

Con le ipotesi che abbiamo possiamo ricavarci direttamente il grafico della $f$. Innanzitutto scriviamo l'espressione della $f'$ ricavandola dal grafico soprastante:

$$f'(x)=\begin{cases} 1&\mbox{se }x<-1\\ -1&\mbox{se }-1 < x < 0\\ 1&\mbox{se }0 < x < 1\\ -1&\mbox{se }x>1\end{cases}$$

Grazie alle ipotesi di continuità della $f$, troviamo le primitive della $f'$ per ognuno dei quattro intervalli:

$$f(x)=\begin{cases} x+h&\mbox{se }x\le -1\\ -x+k&\mbox{se }-1 < x \le 0\\ x+q&\mbox{se }0 < x \le 1\\ -x+s&\mbox{se }x\ge 1\end{cases}\quad\mbox{con } h,k,q,s\in\mathbb R$$

Per ipotesi si ha che $f(-1)=1$, ossia, $-1+h=1$ e quindi $h=2$. L'ipotesi di continuità è necessaria anche per trovare le altre incognite $k,q,s$. Sfruttiamo questa ipotesi imponendo che i limiti sinistro e destro della $f$ nei punti $-1,0,1$ coincidano:

$$\lim\limits_{x\rightarrow -1^-}x+h=1=\lim\limits_{x\rightarrow -1^+}-x+k=1+k$$

che è vera solo quando $k=0$

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}-x+k=0=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x+q=q$$

ovvero quando $q=0$.

$$\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}x+q=1=\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}-x+s=-1+s$$

che è verificata quando $s=2$.

Riscriviamo la $f$ sostituendo i valori trovati:

$$f(x)=\begin{cases} x+2&\mbox{se }x\le -1\\ -x&\mbox{se }-1 < x \le 0\\ x&\mbox{se }0 < x \le 1\\ -x+2&\mbox{se }x\ge 1\end{cases}$$

Il grafico della $f$ è dunque:

grafico della funzione a partire dal grafico della derivata  del 03-09-2013

Dal grafico possiamo che la risposta VERA è la 1) in quanto la funzione ha due massimi assoluti per $x=-1$ e $x=1$, ma non ha nessun minimo assoluto in quanto non è nemmeno limitata inferiormente. La 2) è falsa poichè i punti in cui la $f$ si annulla sono più di 2 (ed esattamente $x=-2$, $x=0$ e $x=2$). La 3) è falsa perchè nell'intervallo $[-1,1]$ la curva risiede completamente sopra l'asse $\vec{x}$, per cui, l'integrale sarà sicuramente positivo. Infine, la 4) è banalmente falsa perchè, essendo la $f$ per ipotesi continua in tutto $\mathbb R$, i limiti verso tutti i punti del dominio sono ben definiti (in particolare anche per $x=1$).


 

Sia $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ una funzione continua e la cui derivata $f':\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ ha il seguente grafico: grafico derivata del 27 02 2014 Quali tra le seguenti asserzioni è FALSA?

  1. Se $f(0)=1$, allora $\int_{-1}^0f(x)\ dx\le 1$.
  2. $f$ è decrescente in $]-1,1[$.
  3. $f$ non ha punti di massimo assoluto.
  4. $f$ ha un punto di flesso.
  5. $f$ ha un punto critico.

Scriviamo dapprima l'espressione analitica della $f'$:

$$f'(x)=\begin{cases} 2x&\mbox{se } x\le 0\\ -2x&\mbox{se } x > 0\end{cases}$$

Da cui, calcolandone le primitive e considerando l'ipotesi di continuità della $f$, abbiamo che:

$$f(x)=\begin{cases} x^2+k&\mbox{se } x\le 0\\ -x^2+h&\mbox{se } x > 0\end{cases}$$

Dovendo i limiti destro e sinistro per $x=0$ coincidere (dato che $f$ è continua in tutto $\mathbb R$) si ha:

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}x^2+k=k=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x^2+h=k$$

la quale è verificata solo quando $k=h$. Quindi riscriviamo la $f$:

$$f(x)=\begin{cases} x^2+k&\mbox{se } x\le 0\\ -x^2+k&\mbox{se } x > 0\end{cases}$$

Osserviamo che la $f$ è composta da due archi di parabola entrambi con vertice in $(0,k)$ una con concavità verso l'alto per $x\le 0$ e l'altra con concavità verso il basso per $x>0$ così come mostra il suo grafico:

grafico funzione da derivata 27 02 2014

Dal grafico qui sopra, possiamo osservare che le 2), 3), 4) e 5) sono banalmente vere ed in particolare $x=0$ è sia un punto critico che un flesso per $f$.

La risposta FALSA è, dunque, la 1) infatti, se $f(0)=1$, $k=1$ e la funzione è quindi:

$$f(x)=\begin{cases} x^2+1&\mbox{se } x\le 0\\ -x^2+1&\mbox{se } x > 0\end{cases}$$

Calcolando l'integrale si ha:

$$\int_{-1}^0x^2+1\ dx=\left[\frac{x^3}{3}+x\right]=\frac{4}{3}>1$$

Osserviamo che potevamo risparmiarci quest'ultimo calcolo se ci fossimo accorti che l'area sottesa dalla $f$ nell'intervallo $[-1,0]$ è maggiore di quella del quadrato di lato 1 con vertici $(0,0)$, $(-1,0)$, $(-1,1)$ e $(0,1)$ mostrato in figura.

grafico funzione per calcolo integrale 27 02 2014

Pubblicato in Calcolo differenziale
Giovedì, 15 Febbraio 2018 17:02

Esercizi sui limiti notevoli

Risolviamo i seguenti limiti utilizzando i limiti notevoli:

  1. $\large{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{\log x}{2+\log x}\right)^{x^2}?}$ (svolgimento)
  2. $\large{\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}(1+x^3)^{\frac{1}{(x^2+1)^4-1}}}$ (svolgimento)
  3. $\large{\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x^3)^{\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\sin^6 x}}}$ (svolgimento)

LIMITE 1

Il limite si presenta nella forma indeterminata $1^\infty$. Sciogliamola riscrivendo la funzione nel seguente modo:

$$\left(\frac{\log x}{2+\log x}\right)^{x^2}=\left(\frac{1}{1+\frac{2}{\log x}}\right)^{x^2}=\frac{1}{\left(1+\frac{2}{\log x}\right)^{x^2}}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{\frac{\log x}{2}}\right)^{x^2}}=\frac{1}{\left[\left(1+\frac{1}{\frac{\log x}{2}}\right)^{\frac{\log x}{2}}\right]^{{\frac{2}{\log x}}x^2}}$$

Osserviamo che

$$\left(1+\frac{1}{\frac{\log x}{2}}\right)^{\frac{\log x}{2}}\overset{x\rightarrow +\infty}{\longrightarrow}e$$ $${\frac{2}{\log x}}x^2\overset{x\rightarrow +\infty}{\longrightarrow}+\infty$$

Dunque,

$$\frac{1}{\left[\left(1+\frac{1}{\frac{\log x}{2}}\right)^{\frac{\log x}{2}}\right]^{{\frac{2}{\log x}}x^2}}\overset{x\rightarrow +\infty}{\longrightarrow}\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0$$

LIMITE 2

Il limite, se calcolato sostituendo $0$ alla $x$ si presenta nella forma indeterminata $1^\infty$.

Osserviamo dapprima, che i limiti notevoli che utilizzeremo saranno i seguenti:

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\quad\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha$$

Riscriviamo la funzione del limite in questo modo:

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}(1+x^3)^{\frac{1}{(x^2+1)^4-1}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}[(1+x^3)^\frac{1}{x^3}]^{x^3{\frac{1}{(x^2+1)^4-1}}}$$

La base della potenza $(1+x^3)^\frac{1}{x^3}$ tende banalmente a $e$. Riscriviamo l'esponente per sciogliere definitivamente la forma indeterminata:

$$x^3{\frac{1}{(x^2+1)^4-1}}=x\frac{x^2}{(x^2+1)^4-1}\overset{x\rightarrow 0^-}{\longrightarrow}0$$

Infatti $$x\frac{x^2}{(x^2+1)^4-1}\overset{x\rightarrow 0^-}{\longrightarrow}0\cdot\frac{1}{4}=0$$

In definitiva si ha:

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}(1+x^3)^{\frac{1}{(x^2+1)^4-1}}=e^0=1$$

LIMITE 3

Il limite, se calcolato sostituendo $0$ alla $x$ si presenta nella forma indeterminata $1^\frac{0}{0}$. Poichè la forma indeterminata si trova ad esponenente, riscriviamolo a parte tale esponente apportandovi alcune trasformazioni.

Osserviamo dapprima, che i limiti notevoli che utilizzeremo saranno i seguenti:

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\quad\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 \quad\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$$

Riscriviamo la funzione del limite in questo modo:

$$(1+x^3)^\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\sin^6 x}=[(1+x^3)^\frac{1}{x^3}]^{x^3\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\sin^6 x}}=[(1+x^3)^\frac{1}{x^3}]^{x^3\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\frac{x^4}{3}}\frac{\frac{x^4}{3}}{\sin^6 x}}$$

Per semplicità, lavoriamo dapprima con l'esponente:

$$x^3\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\frac{x^4}{3}}\frac{\frac{x^4}{3}}{\sin^6 x}=x\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\frac{x^4}{3}}\frac{x^6}{\sin^6 x}\frac{1}{3}\overset{x\rightarrow 0}{\longrightarrow}0\quad\mbox {(leggi: tende a $0$ per $x$ tendente a $0$)}$$

Infatti: $\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\frac{x^4}{3}}\overset{x\rightarrow 0}{\longrightarrow}1$, $\frac{x^6}{\sin^6 x}\overset{x\rightarrow 0}{\longrightarrow}1$ e $x\overset{x\rightarrow 0}{\longrightarrow}0$, quindi tutto l'esponente tende a $0$.

Occupiamoci ora della base della potenza:

Si ha che $(1+x^3)^\frac{1}{x^3}\overset{x\rightarrow 0}{\longrightarrow}e$

Concludiamo dicendo che risulta:

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x^3)^{\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\sin^6 x}}=e^0=1$$

Consulta altri limiti di funzioni svolti

Pubblicato in Esercizi sui limiti
Giovedì, 30 Luglio 2015 09:27

Sistemi lineari con parametro risolti

Se hai già avuto modo di impratichirti con la risoluzione di sistemi lineari utilizzando i teoremi di Cramer e Rouchè-Capelli, sicuramente sarai pronto per risolvere i sistemi lineari che contengono un parametro reale. In pratica, in questo articolo vedremo come studiare un sistema lineare al variare di un parametro reale $a$ utilizzando i teoremi suddetti.

Risolviamo i seguenti sistemi lineari al variare del parametro $a$:

  1. $\begin{cases} ax-(2+a)y=1\\ -2x+(a+2)y=1\\ x-ay=1\end{cases}$
  2. $\begin{cases} ax+(1-a)y+z=2\\ -4x+ay=-2a+4\\ -2x+(a-1)y+z=-4\end{cases}$
  3. $\begin{cases} ax+(1-a)z=2a-1\\ -x+2ay+z=1\\ (1-a)y+z=a\end{cases}$

Sistema 1

$$\begin{cases} ax-(2+a)y=1\\ -2x+(a+2)y=1\\ x-ay=1\end{cases}$$

Troviamo il rango della matrice incompleta $$A=\left(\begin{matrix} a & (-2+a)\\ -2 & (a+2)\\ 1 & -a\end{matrix}\right)$$ al variare del parametro reale $a$, calcolando i determinanti degli 2 orlati dell'elemento $a_{31}=1\neq 0$ (vedi procedura bottom-up):

$$\left|\begin{matrix} -2 & (a+2)\\ 1 & -a\end{matrix}\right|=a-2\,\quad\left|\begin{matrix} a & (-2+a)\\ 1 & -a\end{matrix}\right|=-a^2+2-a$$

Il 1° si annulla per $a=2$, il 2° quando $-a^2+2-a=0\ \Leftrightarrow\ a^2+a-2=0$, ossia per:

$$a=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\{-2,1\}$$

Da questo si deduce che $r(A)=2$ per $a\neq -2,1,2$ e ovviamente $r(A)=1$ altrimenti.

Calcoliamo, adesso, il rango della matrice completa calcolando il suo determinante (dato che è una matrice quadrata) tramite la regola di Sarrus:

$$\begin{array}{l} |B|&=\left|\begin{matrix} a & (-2+a) & 1\\ -2 & (a+2)& 1\\ 1 & -a & 1\end{matrix}\right|\begin{matrix} a & (-2+a)\\ -2 & (a+2)\\ 1 & -a\end{matrix}=\\ &=a^2+2a-2+a+2a-a-2+a^2-4+2a=\\ &=2a^2+6a-8\end{array}$$

Esso si annulla quando $2a^2+6a-8=0\ \Leftrightarrow\ a^2+3a-4=0$, ossia per:

$$a=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\{-4,1\}$$

Considerando anche ciò che è stato detto sul rango di $A$, si ha:

  • $r(B)=3 > r(A)=2$ per $a\neq -4,1$ (cioè per infiniti valori).
  • $r(B)=2=r(A)$ per $a=-4$.
  • $r(B)=1=r(A)$ per $a=1$.

Dunque, per il Teorema di Rouchè-Capelli, il sistema risulta possibile soltanto nel 2° e 3° caso ($r(A)=r(B)$), ossia solo per $a=-4,1$. Per tali valori di $a$ il sistema è indeterminato perchè il rango risulta minore del numero di incognite del sistema (3).

Dal 1° caso, invece, si deduce che il sistema è impossibile per infiniti valori di $a$.

Per quello detto, il sistema non potrai mai essere determinato (con un'unica soluzione).

Sistema 2

$$\begin{cases} ax+(1-a)y+z=2\\ -4x+ay=-2a+4\\ -2x+(a-1)y+z=-4\end{cases}$$

Troviamo il rango della matrice incompleta calcolando il suo determinante (dato che è quadrata) mediante la regola di Sarrus al variare del paramentro reale $a$: $$\begin{array}{l} |A|&=\left|\begin{matrix} a & (1-a) & 1\\ -4 & a & 0\\ -2 & (a-1) & 1\end{matrix}\right|\begin{matrix} a & (1-a)\\ -4 & a\\ -2 & (a-1)\end{matrix}=\\ &=a^2-4a+4+2a+4-4a=\\ &=a^2-6a+8\end{array}$$

il quale si annulla quando $a^2-6a+8=0$ ovvero per:

$$a=-3\pm\sqrt{9-8}=\{2,4\}$$

Dunque si ha che $r(A)=3$ per $a\neq\{2,4\}$. Inoltre possiamo dire che vale sempre $r(A)\ge 2$, poichè possiamo individuare un minore di ordine $2$ a determinante non nullo nella matrice $A$. Esso si ottiene estraendo da $A$ gli elementi della 2° e 3° riga, 1° e 3° colonna:

$$|M|=\left|\begin{matrix} -4 & 0\\ -2 & 1\end{matrix}\right|=-4\neq 0$$

Quindi, in particolare si avrà $r(A)=2$ per $a=\{2,4\}$.

Esaminiamo, adesso il rango della matrice completa $$B=\left(\begin{matrix} a & (1-a) & 1 & 2\\ -4 & a & 0 & -2a+4\\ -2 & (a-1) & 1 & -4\end{matrix}\right)$$ applicando la procedura bottom-up, cioè calcoliamo il determinante degli orlati del minore $M$ di ordine 2 precedentemente scelto. Il primo orlato coincide esattamente con la matrice incompleta $A$, e il suo determinante sappiamo che si annulla per $a=\{2,4\}$. Mentre, il determinante del secondo orlato è

$$\left|\begin{matrix} a & 1 & 2\\ -4 & 0 & -2a+4\\ -2 & 1 & -4\end{matrix}\right|=2a^2-32\neq 0$$

che si annulla per $a=\pm 4$.

Possiamo sintetizzare i risultati ottenuti:

  1. Per $a\neq\{2,4\}$ il sistema è possibile e determinato (cioè ha un'unica soluzione per Cramer).
  2. Per $a=2$ il sistema è impossibile dato che $r(A)=2 < r(B)=3$ (per Rouché-Capelli).
  3. Per $a=4$ il sistema è possibile e indeterminato dato che $r(A)=r(B)=2$ che è minore del numero di incognite (3) (per Rouché-Capelli).
  4. Per $a=-4$ il sistema è possibile e determinato dato che $r(A)=r(B)=3$ (per Rouchè-Capelli).

Sistema 3

$$\begin{cases} ax+(1-a)z=2a-1\\ -x+2ay+z=1\\ (1-a)y+z=a\end{cases}$$

Dato che il determinante della matrice incompleta $$\begin{array}{l} |A|&=\left|\begin{matrix} a & 0 &(1-a)\\ -1 & 2a & 1\\ 0 & (1-a) & 1\end{matrix}\right|\begin{matrix} a & 0\\ -1 & 2a\\ 0 & (1-a)\end{matrix}\\ &=2a^2-1+2a-a^2-a+a^2=\\ &=2a^2+a-1\end{array}$$ si annulla quando $2a^2+a-1=0$, ossia per $$a=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{4}=\bigg\{-1,\frac{1}{2}\bigg\}$$ per il teorema di Cramer si ha che il sistema è determinato (ha un'unica soluzione) per $a\neq\{-\frac{1}{2},1\}$. Per tali valori di $a$ si ha pure $r(A)=3$. Inoltre, osserviamo che $r(A)\ge 2\ \forall a\in\mathbb R$: basta considerare il minore formato dalla 2° e 3° riga, 1° e 3° colonna di $A$ e notare che il suo determinante è non nullo:

$$|M|=\left|\begin{matrix} -1 & 1\\ 0 & 1\end{matrix}\right|=-1\neq 0$$

Troviamo il rango della matrice completa $$B=\left(\begin{matrix} a & 0 &(1-a) & (2a-1)\\ -1 & 2a & 1 & 1\\ 0 & (1-a) & 1 & a\end{matrix}\right)$$ con il metodo bottom-up, ovvero calcolando i determinanti degli orlati del minore $M$. Un orlato è proprio $A$, il cui determinante si annulla per $a=\{-1,\frac{1}{2}\}$. Il secondo orlato invece ha determinante:

$$\left|\begin{matrix} a & (1-a) & (2a-1)\\ -1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & a\end{matrix}\right|=1-2a$$ che si annulla per $a=\frac{1}{2}$.

Quindi, $r(B)=3$ per $a\neq\frac{1}{2}$ e $r(B)=2$ altrimenti.

Ricapitolando si ha:

  1. Per $a\neq\big\{-1,\frac{1}{2}\big\}$ il sistema è determinato (ha un'unica soluzione).
  2. Per $a=-1$ il sistema è impossibile perchè $r(A)=2 < r(B)=3$ (per Rouché-Capelli).
  3. Per $a=\frac{1}{2}$ il sistema è possibile e indeterminato perchè $r(A)=r(B)=2$ ed è minore del numero di incognite (3) (per Rouché-Capelli).
Pubblicato in Matrici e sistemi
Mercoledì, 29 Luglio 2015 07:23

Problemi sulle operazioni tra matrici

In questa pagina trovate tante applicazioni sui seguenti concetti (clicca sui link per visualizzare teoria ed esempi):

Proponiamo lo studio delle seguenti matrici (fai clicca su ognuna di loro per visualizzare l'esercizio con il testo e le relative domande.

  1. $A=\left(\begin{matrix} -1 & 0 & \lambda\\ -2 & \lambda -1 & 2\\ 1 & -1 & 4\end{matrix}\right)$
  2. Esercizio con due matrici quadrate di ordine $4$
  3. Esercizio con una matrice avente un minore $M$ di ordine $2$ a determinante non nullo

Matrice 1

Sia data la matrice $$A=\left(\begin{matrix} -1 & 0 & \lambda\\ -2 & \lambda -1 & 2\\ 1 & -1 & 4\end{matrix}\right)$$ con $\lambda\in\mathbb R$. Quale tra le seguenti asserzioni è FALSA?

  1. Non esiste $B$ tale che $|AB|=\lambda^2 +\lambda -2$.
  2. Esistono infiniti valori di $\lambda$ per cui $r(A)=3$.
  3. $r(A)\ge 1\ \forall\lambda\in\mathbb R$.
  4. Esiste $\lambda\in\mathbb R$ per cui $r(A)=2$.
  5. Per $\lambda = 1$, non esiste $B$ tale che $AB$ è invertibile.

Notiamo subito che la 3) è vera in quanto basta estrarre una sottomatrice quadrata di ordine 1 da $A$ con determinante non nullo (un numero reale diverso da $0$ e non contenente $\lambda$), ad esempio l'elemento $a_{11}=-1$; così possiamo affermare che il rango di $A$ è almeno 1 per ogni valore di $\lambda$.

Inoltre, considerato l'orlato del minore $a_{11}$ ottenuto estraendo gli elementi della 1° e 3° riga, 1° e 2° colonna di $A$ $$\left(\begin{matrix} -1 & 0\\ 1 & -1\end{matrix}\right)$$ dato che il suo determinante è 1\neq 0$ e non dipende da $\lambda$, possiamo affermare che $r(A)=2\ \forall\lambda\in\mathbb R$. Questo ci consente di dire che anche la 4) è vera.

Adesso, calcoliamo il determinante di $A$ tramite la regola di Sarrus:

$$\begin{array}{l} |A|&=\left|\begin{matrix} -1 & 0 & \lambda\\ -2 & \lambda -1 & 2\\ 1 & -1 & 4\end{matrix}\right|\begin{matrix} -1 & 0\\ -2 & \lambda -1\\ 1 & -1\end{matrix}=\\ &=-4\lambda +4+2\lambda-\lambda^2+\lambda-2=\\ &=-\lambda^2-\lambda+2\end{array}$$

Per il teorema di Binet, la 1) sarebbe falsa se riuscissimo a trovare una matrice $B$ con determinante uguale a $-1$. Infatti, in tale caso si avrebbe:

$$|AB|=|A|\cdot |B|=(-\lambda^2-\lambda+2)\cdot (-1)=\lambda^2+\lambda-2$$

Una matrice con determinante uguale a $-1$ è, ad esempio, la matrice diagonale formata avente tutti $-1$ sulla diagonale principale:

$$B=\left(\begin{matrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{matrix}\right)$$

Quindi la 1) è FALSA.

Per rispondere alle domande rimaste, calcoliamo i valori di $\lambda$ per cui $|A|=0$, ovvero risolviamo l'equazione:

$$-\lambda^2-\lambda+2=0$$

Risulta che:

$$\lambda_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\{-2,1\}$$

Da questo segue che il rango di $A$ non è massimo (ossia non è 3) per $\lambda =-2$ oppure $\lambda =1$. Per tutti gli altri valori di $\lambda$ (infiniti valori), il rango è uguale a 3: la 2) è vera.

Concludiamo verificando che la 5) è vera. Per $\lambda = 1$ abbiamo visto che |A|=0, dunque, per la condizione necessaria e sufficiente sull'esistenza della matrice inversa, $A$ non è invertibile. Per il teorema sull'invertibilità del prodotto di due matrici, se una delle due matrici non è invertibile, nemmeno il prodotto tra le due matrici è invertibile, per cui la 5) è corretta.

Matrice 2

Siano $A$ e $B$ due matrici quadrate di ordine $4$.

Quale tra le seguenti asserzioni è FALSA?

  1. Se $AB=I_4$, allora $B$ è invertibile.
  2. Se $A=A^{-1}$, allora $|A|=1$.
  3. $|-A|=|A|$.
  4. Se $AB=\Omega_4$ e $|A|\neq 0$, allora $B$ è invertibile.
  5. Se $AB=BA$, allora $((BA)^2)^{-1}=(B^2)^{-1}(A^2)^{-1}$.

Per definizione di matrice inversa, se il prodotto tra due matrici è la matrice identica ($AB=I_4$), la seconda matrice ($B$) risulta essere l'inversa della prima, da cui segue che $B$ è invertibile: la 1) è vera. Inoltre, sempre per la definizione di matrice inversa, se la matrice $A$ coincide con la sua inversa, è chiaro che il determinante di $A$ è pari a 1. Infatti, sotto l'ipotesi che $A=A^{-1}$ si ha:

$$|A\cdot A^{-1}|=|A|\cdot |A^{-1}|=|I_4|=1\ \Leftrightarrow\ |A|=|A^{-1}|=1$$

Dunque la 2) è vera.

Per la proprietà 5 sui determinanti, essendo $A$ di ordine $4$, risulta:

$$|-A|=(-1)^4\cdot |A|=|A|$$

Per tale motivo anche la 3) è vera.

Vediamo la 4): dal fatto che $|A|\neq 0$ si ha che $A$ è invertibile; se per assurdo $B$ fosse invertibile, per il teorema sull'invertibilità del prodotto di due matrici, anche $AB$ sarebbe invertibile. Ma ciò, entra in contrasto con l'ipotesi che $AB$ è la matrice nulla ($AB=\Omega_4$), la quale, avendo determinante nullo non può assolutamente essere invertibile. Quindi, la 4) è falsa.

Infine nella 5) osserviamo che:

$$((BA)^2)^{-1}=[(BA)(BA)]^{-1}$$

Per la proprietà associativa del prodotto tra matrici e dall'ipotesi $AB=BA$, si ha:

$$[(BA)(BA)]^{-1}=[A(BAB)]^{-1}=[A(ABB)]^{-1}=[A^2B^2]^{-1}$$

Per il teorema sull'invertibilità del prodotto di due matrici si ha:

$$[A^2B^2]^{-1}=(B^2)^{-1}(A^2)^{-1}$$

che ci porta ad affermare che la 5) è vera.

Matrice 3

Sia $A$ una matrice tale che esiste un minore $M$ di ordine $2$ a determinante non nullo.

Quale delle seguenti asserzioni è FALSA?

  1. Se esiste nua matrice $B$ $3\times 3$ tale che $|AB|=0$, allora $r(A)=2$.
  2. Se $|A|=0$, allora $r(A)=2$.
  3. Se $|A|\neq 0$, allora $r(A^2)=r(A)$.
  4. $r(A)\ge 2$.
  5. Se $A$ è invertibile e $B$ è una matrice $3\times 3$ tale che $AB=\Omega$, allora $|B|=0$.

La prima cosa che possiamo osservare è che, essendo $M$ un minore di $A$ di ordine $2$ a determinante non nullo, $r(A)\ge 2$. Da questo segue che la sia la 2) che la 4) sono vere.

Dal teorema di Binet si ha che $|AB|=|A|\cdot |B|$ e poichè quest'ultimo si annulla, significa che o $|A|=0$ o $|B|=0$ (e non necessariamente $|A|=0$). Per tale motivo, il rango di $A$ potrebbe essere 3 se si annullasse il determinante di $B$. Quindi la 1) è FALSA.

Se |A|\neq 0$ si ha che il suo rango è massimo ovvero $3$ ed inoltre, applicando il teorema di Binet risulta:

$$|A^2|=|A\cdot A|=|A|\cdot |A|$$

Poichè $|A|\neq 0$ anche $|A^2|=|A|\cdot |A|\neq 0$ e quindi $r(A^2)=3=r(A)$: la 3) è vera.

Se $A$ è invertibile, esiste $A^{-1}$. Moltiplichiamo a sinistra ambo i membri di $AB=\Omega$ per $A^{-1}$:

$$A^{-1}AB=A^{-1}\Omega$$

si ha:

$$B=\omega\ \Rightarrow\ |B|=0$$

per cui la 5) è vera.

Pubblicato in Matrici e sistemi
Sabato, 25 Luglio 2015 10:14

Insieme numerico compito 27-02-2014

Sia dato l'insieme numerico: $$X=\bigg\{-2-\frac{3}{n^2+1}:n\in\mathbb N\bigg\}\ \cup\ [0,1]\ \cup\ ]3,4[$$ Quali delle seguenti asserzioni è VERA?

  1. $\mathop X\limits ^\circ = \emptyset$.
  2. $D(DX)$ è un intervallo chiuso.
  3. $|D(FX)|=1$.
  4. $|\overline{X}\setminus X|=2$.
  5. Nessuna delle altre risposte.

Elenchiamo alcuni punti della successione presente tra parentesi nell'insieme $X$:

$$X=\bigg\{-5,-\frac{7}{2},-\frac{13}{5},\dots\bigg\}$$

L'interno di $X$ è banalmente:

$$]0,1[\ \cup\ ]3,4[$$

che è diverso dall'insieme vuoto, per cui la 1) è falsa.

Il derivato di $X$ è formato da tutti i punti degli intervalli $[0,1]$ e $[3,4]$ e dal punto limite della successione tra parentesi che si trova calcolando:

$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}-2-\frac{3}{n^2+1}=-2$$

Dunque

$$DX=[0,1]\ \cup\ [3,4]\ \cup\ \{-2\}$$

Allora, il derivato del derivato di $X$ sarebbe l'unione dei due intervalli $[0,1]$ e $[3,4]$:

$$D(DX)=[0,1]\ \cup\ [3,4]$$

il quale è un insieme chiuso dato che la sua chiusura coincide con l'insieme stesso:

$$\overline{[0,1]\ \cup\ [3,4]}=[0,1]\ \cup\ [3,4]$$

ma non è un intervallo dato che è unione di due intervalli disgiunti.

La 2) è quindi falsa.

La frontiera di $X$ è formata da tutti i punti isolati contenuti nella successione tra parentesi e dal suo punto limite $-2$ e dagli estremi degli intervalli $[0,1]$ e $[3,4]$:

$$FX=\bigg\{-2-\frac{3}{n^2+1}:n\in\mathbb N\bigg\}\ \cup\ \{-2,0,1,3,4\}$$

Quest'ultimo insieme ha un solo punto di accumulazione che è $-2$, dunque la cardinalità dell'insieme $D(FX)$ è pari a 1: la 3) è la risposta VERA.

La chiusura di $X$ è:

$$\overline{X}=\bigg\{-2-\frac{3}{n^2+1}:n\in\mathbb N\bigg\}\ \cup\ \{-2\}\ \cup\ [0,1]\ \cup\ [3,4]$$

Pertanto, l'insieme

$$\overline{X}\setminus X =\{-2,3,4\}$$

Poichè tale insieme ha cardinalità $3$, la 4) è falsa.

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Sabato, 25 Luglio 2015 07:45

Insieme numerico compito 22-01-2015

Siano $X$ e $Y$ i seguenti insiemi numerici: $$X=\bigg\{1-\frac{1}{n^2+1}:n\in\mathbb N\bigg\}$$ $$Y=]1,+\infty[\ \cap\ \mathbb Z$$ Quali delle seguenti asserzioni è VERA?

  1. $DX\cap DY\neq\emptyset$.
  2. $\mathop X\limits ^\circ\cup\mathop Y\limits ^\circ\neq\emptyset$.
  3. $X\cup\{1\}$ e $Y\cup\{1\}$ sono separati e contigui.
  4. $FX=X$.
  5. Nessuna delle altre risposte.

Osserviamo da quali elementi sono composti i due insiemi:

$$X=\bigg\{0,\frac{1}{2},\frac{4}{5},\dots \bigg\}$$ $$Y=\{2,3,4,\dots ,\}$$

L'unico punto di accumulazione per $X$ è il limite della successione dentro le parentesi graffe, e si trova calcolando:

$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}1-\frac{1}{n^2+1}=1$$

Dunque il derivato di $X$ è l'insieme formato solo dal punto 1:

$$DX=\{1\}$$

Dato che l'insieme $Y$ non ha punti di accumulazione, il derivato di $Y$, è l'insieme vuoto:

$$DY=\emptyset$$

Per quanto detto si ha $DX\cap DY=\emptyset$, ragion per cui la 1) è FALSA.

Poichè sia $X$ che $Y$ non hanno punti interni, l'unione dei loro interni è l'insieme vuoto e quindi anche la 2) è falsa:

$$\mathop X\limits ^\circ\cup\mathop Y\limits ^\circ =\emptyset$$

La 3) è VERA perchè

$$X\cup\{1\}=\bigg\{0,\frac{1}{2},\frac{4}{5},\dots ,1\bigg\}$$

e

$$Y\cup\{1\}=\{1,2,3,4,\dots ,\}$$

i quali sono due insiemi separati perchè tutti gli elementi di $X$ sono minori o uguali a tutti quelli di $Y$ e sono pure contigui dato che

$$\inf \{Y\cup\{1\}\}=\min \{Y\cup\{1\}\}=1=\sup \{X\cup\{1\}\}=\max \{X\cup\{1\}\}$$

La frontiera di $X$ è formato da tutti gli elementi di $X$ più l'elemento limite della successione, ossia 1:

$$FX=X\cup\{1\}\neq X$$

Di conseguenza, la 4) è falsa.

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Sabato, 25 Luglio 2015 06:41

Insieme numerico compito 24-09-2010

Sia $X$ il seguente insieme numerico: $$X=\{0\}\ \cup\ \bigg\{1-\frac{2}{n+3}:n\in\mathbb N\bigg\}\ \cup\ [1,3]$$ Quali delle seguenti asserzioni è VERA?

  1. $X$ ha un solo punto di accumulazione.
  2. $X$ ha un numero finito di punti isolati.
  3. $DX$ è un insieme infinito e limitato.
  4. $\mathop X\limits ^\circ=]0,3[$.
  5. $X\setminus\{0\}$ non è un insieme chiuso.

I punti di accumulazione di $X$ sono tutti i punti nell'intervallo $[1,3]$ e il punto limite della successione $\big\{1-\frac{2}{n+3}:n\in\mathbb N\big\}$ che si trova calcolando:

$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}1-\frac{2}{n+3}=1$$

il quale è già incluso nell'intervallo $[1,3]$. Pertanto, i punti di accumulazione per $X$ sono infiniti e quindi la 1) è falsa. Inoltre il derivato di $X$ è

$$DX=[1,3]$$

il quale risulta essere un insieme infinito (perchè contiene un numero infinito di elementi) e limitato (inferiormente da 1 e superiormente da 3). Per tale motivo la risposta VERA è la 3).

I punti isolati di $X$ sono lo $0$ e tutti i punti dell'insieme $\big\{1-\frac{2}{n+3}:n\in\mathbb N\big\}$ esclusi quelli appartenenti a $[1,3]$. Essendo i punti isolati per $X$ infiniti, anche la 2) è falsa:

$\mathop X\limits ^\circ=]0,3[$ è falsa perchè l'interno di $X$, ovvero l'insieme dei punti interni di $X$ sono quelli presenti nell'intervallo $]1,3[$.

Infine, osserviamo che:

$$X\setminus\{0\}=\bigg\{1-\frac{2}{n+3}:n\in\mathbb N\bigg\}\ \cup\ [1,3]$$

La sua chiusura è data dai punti di $X\setminus\{0\}$ e dai punti della sua frontiera che risultano essere quelli appartenenti a $\big\{1-\frac{2}{n+3}:n\in\mathbb N\big\}$, pertanto:

$$\overline{X\setminus\{0\}}=X\setminus\{0\}$$

L'insieme è dunque chiuso poichè coincide con la sua chiusura. Pertanto la 5) è falsa.

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Venerdì, 10 Aprile 2015 12:20

Studio grafico di funzione definita a tratti

Sia $f:[-2,3[\cup]5,7]\rightarrow\mathbb R$ la funzione avente il seguente grafico:

Studio del grafico di funzione del compito 24-09-2010

Quale delle seguenti affermazioni è FALSA?

  1. $f$ ha esattamente un punto angoloso
  2. $f$ è ha due minimi relativi
  3. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}f(x)=-1$
  4. $f(\frac{5}{2})=0$
  5. $\int_0^{5/2}f(x)\ dx=-\frac{3}{2}$

La risposta esatta è la 5) poichè $\int_0^{5/2}f(x)\ dx$ non è altro che l'area del triangolo che ha vertici in $(0,0),\ (2,-2),\ \left(0,\frac{5}{2}\right)$. Tale area, infatti si calcola nel seguente modo:

$$\int_0^{5/2}f(x)\ dx=-\frac{b\cdot h}{2}=-\frac{\frac{5}{2}\cdot 2}{2}=-\frac{5}{2}\neq-\frac{3}{2}$$

E' altresì facile verificare che le altre asserzioni sono vere: $f$ ha esattamente un punto angoloso (per $x=2$); $f$ ha chiaramente due minimi relativi (per $x=2$ e per $x=6$); il limite si calcola banalmente osservando che il punto di ascissa $1$ ha ordinata pari a $-1$; infine, la funzione calcolata in $\frac{5}{2}$ vale $0$ (ovvero $f(\frac{5}{2})=0$).

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Venerdì, 10 Aprile 2015 12:17

Studio funzione con logaritmo

Sia data la funzione $f(x)=x^2(1-2\log x)$

Quale delle seguenti affermazioni è FALSA?

  1. $f$ ristretta a $\left]0,\frac{1}{e}\right[$ è concava
  2. Esiste $c\in ]1,2[$ tale che $f(c)=0$
  3. codom$f=]-\infty,1[$
  4. $f$ non ha un minimo relativo
  5. $f$ ristretta a $\left]0,2\right[$ è invertibile

Studiamo la funzione seguendo i soliti 5 passi.

Campo di esistenza

Poichè la funzione presenta un $\log$ dobbiamo porre il suo argomento maggiore di $0$. Il campo di esistenza sarà dunque:

$$x>0$$

Positività

$$\begin{array}{l} &x^2(1-2\log x)>0\quad\Rightarrow\quad 1-2\log x>0\quad\Rightarrow\\ &\Rightarrow\quad 1-\log x^2>0\quad\Rightarrow\quad\log x^2 < 1\quad\Rightarrow\quad x^2 < e\end{array}$$

Risolvendo quest'ultima disequazione trovo le soluzioni $-\sqrt{e} < x < \sqrt{e}$, ma poichè la funzione è definita soltanto per $x>0$, la funzione è positiva solo per $x < \sqrt{e}$.

Limiti

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x^2(1-2\log x)=\left[0\cdot\infty\right]$$

che è una forma indeterminata. Sciogliamola:

$$x^2(1-2\log x)=\frac{1-2\log x}{\frac{1}{x^2}}$$

Applicando il teorema di de l'H$\hat{o}$pital a quest'ultima espressione otteniamo:

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{1-2\log x}{\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{-\frac{2}{x}}{-\frac{2x}{x^4}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{2}{x}\frac{x^4}{2x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x^2=0$$

$$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^2(1-2\log x)=-\infty$$

Derivata prima

$$\begin{array}{l} f'(x)&=2x(1-2\log x)+x^2\left(-\frac{2}{x}\right)=2x(1-2\log x)-2x=\\ &=2x(1-2\log x-1)=2x(-2\log x)\end{array}$$

Studiamo il segno della derivata prima ponendola maggiore di $0$:

$$2x(-2\log x)>0\quad\Rightarrow\quad -2\log x>0\quad\Rightarrow\quad \log x < 0\quad\Rightarrow\quad x < 1$$ segno della derivata prima di funzione con logaritmo

Notiamo dal grafico che la funzione presenta un punto di massimo relativo per $x=1$.

Derivata seconda

$$f''(x)=2(-2\log x)+2x\left(-\frac{2}{x}\right)=-4\log x-4=-4(\log x+1)$$

Sudiamo il segno della derivata seconda:

$$-4(\log x+1)>0\quad\Rightarrow\quad \log x+1 < 0 \quad\Rightarrow\quad \log x < -1 \quad\Rightarrow\quad x < \frac{1}{e}$$

Dunque, la funzione è convessa per $x < \frac{1}{e}$ e concava per $x>\frac{1}{e}$.

Ecco il grafico completo della funzione proposta:

grafico di funzione con logaritmo

Rivediamo le risposte:

La 1) è chiaramente falsa perchè in $\left]0,\frac{1}{e}\right[$ la $f$ è convessa.

La 2) è verà perchè $f(\sqrt{e})=0$.

La 3) è vera perchè la funzione assume tutti i valori da $-\infty$ a $1$.

La 4) è banalmente vera perchè la funzione ha solo un massimo relativo.

La 5) è falsa perchè, affinchè una funzione sia invertibile in $]0,2[$, deve essere monotona (crescente o decrescente). Ma in tale intervallo la funziona non è né crescente, né decrescente, per cui $f$ non è invertibile.

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Venerdì, 10 Aprile 2015 12:14

Studio funzione razionale fratta

Sia data la funzione definita da

$$f(x)=\frac{x^2-1}{2-x}$$

Quale delle seguenti affermazioni è FALSA?

  1. $f$ ha flessi
  2. $f$ è illimitata
  3. $f(x) < 0\quad \forall x\in [-1,1]$
  4. $f$ non è iniettiva
  5. $f$ ristretta a $]-\infty,2[$ è convessa

Campo di esistenza

Poichè nella funzione compare una frazione, dobbiamo escludere tutti i valori di $x$ che annullano il denominatore. Quindi il dominio sarà:

$$2-x\neq 0\quad\Rightarrow\quad x\neq 2$$

Positività

Studiamo il segno della funzione ponendola maggiore di $0$, ovvero, risolviamo la seguente disequazione:

$$\frac{x^2-1}{2-x}>0$$

Risolviamo la disequazione fratta ponendo numeratore e denominatore maggiori di $0$ (vedi qui come si risolve una disequazione fratta)

$$x^2-1>0\quad\Rightarrow\quad x < -1\ \vee\ x >1$$ $$2-x>0\quad\Rightarrow\quad x < 2$$

Facciamo il prodotto dei segni tra queste due soluzioni trovate graficandole sulla retta reale:

grafico positività funzione

Dal grafico si vede che la funzione è positiva per $x < -1\ \vee\ 1 < x < 2$$.

Limiti

Calcoliamo i limiti per $x$ che tende a $2$ da destra e da sinistra e i limiti a $\pm\infty$:

$$\lim\limits_{x\rightarrow 2^-}\frac{x^2-1}{2-x}=\left[\frac{3}{0^+}\right]=+\infty$$ $$\lim\limits_{x\rightarrow 2^+}\frac{x^2-1}{2-x}=\left[\frac{3}{0^-}\right]=-\infty$$ $$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2-1}{2-x}=+\infty$$ $$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^2-1}{2-x}=-\infty$$

Essendo i limiti a $\pm\infty$ uguali a $\pm\infty$, possono esistere asintoti obliqui. Verifichiamone l'esistenza:

$$m=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\frac{x^2-1}{2-x}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^2-1}{2x-x^2}=\frac{1}{-1}=-1$$ $$\begin{array}{l} q&=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^2-1}{2-x}-(-1)x=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^2-1}{2-x}+x=\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^2-1+2x-x^2}{2-x}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x-1}{2-x}=\frac{2}{-1}=-2\end{array}$$

In definitiva, abbiamo trovato un asintoto obliquo di equazione

$$y=-x-2$$

Derivata prima

$$f'(x)=\frac{2x(2-x)-(x^2-1)(-1)}{(2-x)^2}=\frac{4x-2x^2+x^2-1}{(2-x)^2}=\frac{-x^2+4x-1}{(2-x)^2}$$

Per determinare la crescenza, la decrescenza e gli eventuali punti di minimo e di massimo relativo, poniamo la derivata prima maggiore di $0$:

$$\begin{array}{l} &\frac{-x^2+4x-1}{(2-x)^2}>0\quad\Rightarrow\quad -x^2+4x-1>0\quad\Rightarrow\\ &\Rightarrow\quad x^2-4x+1 < 0\quad\Rightarrow\quad 2-\sqrt{3} < x < 2+\sqrt{3}\end{array}$$ studio del segno della derivata prima

Le frecce nel grafico indicano dove la funzione è crescente e dove invece è decrescente. Inoltre, in corrispondenza dei punti $x=2-\sqrt{3}$ e $x=2+\sqrt{3}$ abbiamo rispettivamente un punto di minimo relativo e massimo relativo.

Derivata seconda

$$\begin{array}{l} f''(x)&=\frac{(-2x+4)(2-x)^2-(-x^2+4x-1)(-2)(2-x)}{(2-x)^4}=\\ &=\frac{(2-x)[(-2x+4)(2-x)+2(-x^2+4x-1)]}{(2-x)^4}=\\ &=\frac{(2-x)(-4x+2x^2+8-4x-2x^2+8x-2)}{(2-x)^4}=\\ &=\frac{(2-x)6}{(2-x)^4}\end{array}$$

Per vedere dove la funzione è concava, dove è convessa e trovare gli eventuali punti di flesso, poniamo la derivata seconda maggiore di $0$:

$$\frac{(2-x)6}{(2-x)^4}>0\quad\Rightarrow\quad 2-x>0 \quad\Rightarrow\quad x < 2$$ studio del segno della derivata seconda

Dallo studio del segno della derivata seconda si vede che la funzione è convessa per $x<2$ mentre è concava per $x>2$. Per $x=2$ non abbiamo un punto di flesso perchè esso è un punto di discontinuità per la funzione!

Concludiamo mostrando il grafico completo della funzione:

grafico funzione razionale fratta

Si vede immediatamente dal grafico che la funzione non ha flessi, quindi la risposta falsa è la 1).

Risulta facile verificare che le altre asserzioni sono vere: banalmente $f$ è illimitata sia superiormente che inferiormente; $f(x)$ è negativa o nulla nell'intervallo $[-1,1]$; $f$ chiaramente non è iniettiva in quanto posso sempre prendere ad esempio $x_1\in]1,2[$ e $x_2\in]-\infty,-1[$ tali che $f(x_1)=f(x_2)$; infine è pure vero che $f$ ristretta a $]-\infty,2[$ è convessa.

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