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Esercizi sui limiti notevoli

Risolviamo i seguenti limiti utilizzando i limiti notevoli:

  1. $\large{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{\log x}{2+\log x}\right)^{x^2}?}$ (svolgimento)
  2. $\large{\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}(1+x^3)^{\frac{1}{(x^2+1)^4-1}}}$ (svolgimento)
  3. $\large{\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x^3)^{\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\sin^6 x}}}$ (svolgimento)

LIMITE 1

Il limite si presenta nella forma indeterminata $1^\infty$. Sciogliamola riscrivendo la funzione nel seguente modo:

$$\left(\frac{\log x}{2+\log x}\right)^{x^2}=\left(\frac{1}{1+\frac{2}{\log x}}\right)^{x^2}=\frac{1}{\left(1+\frac{2}{\log x}\right)^{x^2}}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{\frac{\log x}{2}}\right)^{x^2}}=\frac{1}{\left[\left(1+\frac{1}{\frac{\log x}{2}}\right)^{\frac{\log x}{2}}\right]^{{\frac{2}{\log x}}x^2}}$$

Osserviamo che

$$\left(1+\frac{1}{\frac{\log x}{2}}\right)^{\frac{\log x}{2}}\overset{x\rightarrow +\infty}{\longrightarrow}e$$ $${\frac{2}{\log x}}x^2\overset{x\rightarrow +\infty}{\longrightarrow}+\infty$$

Dunque,

$$\frac{1}{\left[\left(1+\frac{1}{\frac{\log x}{2}}\right)^{\frac{\log x}{2}}\right]^{{\frac{2}{\log x}}x^2}}\overset{x\rightarrow +\infty}{\longrightarrow}\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0$$

LIMITE 2

Il limite, se calcolato sostituendo $0$ alla $x$ si presenta nella forma indeterminata $1^\infty$.

Osserviamo dapprima, che i limiti notevoli che utilizzeremo saranno i seguenti:

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\quad\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha$$

Riscriviamo la funzione del limite in questo modo:

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}(1+x^3)^{\frac{1}{(x^2+1)^4-1}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}[(1+x^3)^\frac{1}{x^3}]^{x^3{\frac{1}{(x^2+1)^4-1}}}$$

La base della potenza $(1+x^3)^\frac{1}{x^3}$ tende banalmente a $e$. Riscriviamo l'esponente per sciogliere definitivamente la forma indeterminata:

$$x^3{\frac{1}{(x^2+1)^4-1}}=x\frac{x^2}{(x^2+1)^4-1}\overset{x\rightarrow 0^-}{\longrightarrow}0$$

Infatti $$x\frac{x^2}{(x^2+1)^4-1}\overset{x\rightarrow 0^-}{\longrightarrow}0\cdot\frac{1}{4}=0$$

In definitiva si ha:

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}(1+x^3)^{\frac{1}{(x^2+1)^4-1}}=e^0=1$$

LIMITE 3

Il limite, se calcolato sostituendo $0$ alla $x$ si presenta nella forma indeterminata $1^\frac{0}{0}$. Poichè la forma indeterminata si trova ad esponenente, riscriviamolo a parte tale esponente apportandovi alcune trasformazioni.

Osserviamo dapprima, che i limiti notevoli che utilizzeremo saranno i seguenti:

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\quad\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 \quad\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$$

Riscriviamo la funzione del limite in questo modo:

$$(1+x^3)^\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\sin^6 x}=[(1+x^3)^\frac{1}{x^3}]^{x^3\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\sin^6 x}}=[(1+x^3)^\frac{1}{x^3}]^{x^3\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\frac{x^4}{3}}\frac{\frac{x^4}{3}}{\sin^6 x}}$$

Per semplicità, lavoriamo dapprima con l'esponente:

$$x^3\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\frac{x^4}{3}}\frac{\frac{x^4}{3}}{\sin^6 x}=x\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\frac{x^4}{3}}\frac{x^6}{\sin^6 x}\frac{1}{3}\overset{x\rightarrow 0}{\longrightarrow}0\quad\mbox {(leggi: tende a $0$ per $x$ tendente a $0$)}$$

Infatti: $\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\frac{x^4}{3}}\overset{x\rightarrow 0}{\longrightarrow}1$, $\frac{x^6}{\sin^6 x}\overset{x\rightarrow 0}{\longrightarrow}1$ e $x\overset{x\rightarrow 0}{\longrightarrow}0$, quindi tutto l'esponente tende a $0$.

Occupiamoci ora della base della potenza:

Si ha che $(1+x^3)^\frac{1}{x^3}\overset{x\rightarrow 0}{\longrightarrow}e$

Concludiamo dicendo che risulta:

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x^3)^{\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\sin^6 x}}=e^0=1$$

Consulta altri limiti di funzioni svolti

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