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La funzione esponenziale

Se $a$ è un numero positivo diverso da $1$ ed $x$ una variabile reale, l'espressione $a^x$ varia al variare di $x$. Definiamo funzione esponenziale

$$y=a^x$$

Per individuare le principali proprietà della funzione esponenziale ci limitiamo a rappresentare graficamente per punti due funzioni esponenziali, una con $a>1$ e l'altra con $0 < a < 1$. Qui in basso è rappresentata nel piano cartesiano la funzione $y=2^x$ (con $a>1$);

Funzione esponenziale con base compresa tra 0 e 1

Nella figura seguente, invece, la funzione $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ (con $0 < a < 1$).

Funzione esponenziale con base maggiore di 1

Come si può osservare la funzione esponenziale $y=a^x$ assume valori positivi per qualunque valore attribuito all'esponente e non si annulla mai. per $a>1$ la funzione è crescente e tende a $+\infty$ (leggi più infinito) per $x$ tendente a $+\infty$, mentre tende a zero per $x$ tendente a $-\infty$ (leggi meno infinito). Viceversa, per $0 < a < 1$ la funzione è decrescente e tende a zero per $x$ tendente a $+\infty$ mentre tende a $+\infty$ per $x$ tendente a $-\infty$.

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