Equazioni logaritmiche risolte

Dopo aver appreso cosa sono i logaritmi, come calcolarli e come usare le loro proprietà, ci agginciamo a risolvere alcune equazioni logaritmiche proposte qui di seguito.

  1. $\log_{\frac{1}{3}}(2x-3)=-2$
  2. $4\log_{16}x=\log_5\frac{1}{125}$
  3. $\log_2 x=\log_{\frac{1}{2}}(2x-1)$
  4. $\log_2 (\sqrt{5-x^2}-x)=0$
  5. $\log_2 ||x^2-3|-1|=1$

Equazione 1

$$\log_{\frac{1}{3}}(2x-3)=-2$$

Innanzitutto, poniamo la condizione di esistenza del logaritmo:

$$2x-3 > 0\quad\Rightarrow\quad\mbox{C.E.}\quad x>\frac{3}{2}$$

Adesso passiamo alla risoluzione dell'equazione:

$\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{3}}(2x-3)=-2\quad\Rightarrow\quad \log_{\frac{1}{3}}(2x-3)=-2\log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad \log_{\frac{1}{3}}(2x-3)=\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\quad\Rightarrow\\ \Rightarrow\quad 2x-3=\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \quad\Rightarrow\quad 2x-3=9 \quad\Rightarrow\quad x=6\end{array}$

Essendo all'interno del campo di esistenza ($x>\frac{3}{2}$), $x=6$ è la soluzione della nostra equazione.

Equazione 2

$$4\log_{16}x=\log_5\frac{1}{125}$$

Il campo di esistenza del logaritmo è banalmente $x>0$. Procediamo dunque con la risoluzione dell'equazione osservando che $125=5^3$:

$4\log_{16}x=\log_5\frac{1}{125}\quad\Rightarrow\quad \log_{16}x^4=\log_5\frac{1}{5^3}\quad\Rightarrow\quad \log_{16}x^4=\log_5 5^{-3}\quad\Rightarrow\quad \log_{16}x^4=-3$

Facciamo apparire un logaritmo in base 16 a secondo membro in modo da poter poi togliere i logaritmi ad entrambi i membri:

$\begin{array}{l} \log_{16}x^4=-3\log_{16}16\quad\Rightarrow\quad \log_{16}x^4=\log_{16}16^{-3}\quad\Rightarrow\quad x^4=16^{-3} \quad\Rightarrow\quad x^4=2^{-12}=\frac{1}{2^{12}}\quad\Rightarrow\\ \Rightarrow\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt[4]{2^{12}}}=\pm\frac{1}{2^3}=\pm\frac{1}{8}\end{array}$

Essendo il campo di esistenza $x>0$, la soluzione accettabile dell'equazione proposta è $x=\frac{1}{8}$.

Equazione 3

$$\log_2 x=\log_{\frac{1}{2}}(2x-1)$$

Al solito, iniziamo con il determinare il campo di esistenza:

$\begin{cases} x > 0\\ 2x-1 > 0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases} x > 0\\ x > \frac{1}{2}\end{cases}\quad\Rightarrow x > \frac{1}{2}$

Procediamo con la risoluzione trasformando il logaritmo in base $\frac{1}{2}$ tramite la formula del cambio base:

$\log_{\frac{1}{2}}(2x-1)=\frac{\log_2 (2x-1)}{\log_2 \frac{1}{2}}=\frac{\log_2 (2x-1)}{-1}=\log_2 (2x-1)^{-1}=\log_2 \frac{1}{2x-1}$

Sostituiamo quanto trovato nella nostra equazione risolvendola:

$\log_2 x=\log_2 \frac{1}{2x-1}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{2x-1} \quad\Rightarrow\quad x(2x-1)=1\quad\Rightarrow\quad 2x^2-x-1=0$

Tale equazione ha come soluzioni $x=1$ e $x=\frac{1}{2}$, ma la soluzione accettabile è soltanto la prima ($x=1$) in accordo con il campo di esistenza trovato inizialmente ($x>\frac{1}{2}$).

Equazione 4

$$\log_2 (\sqrt{5-x^2}-x)=0$$

Imponiamo dapprima le condizioni di esistenza del logaritmo:

$\sqrt{5-x^2}-x > 0\quad\Rightarrow\quad \sqrt{5-x^2} > x$

Scriviamo i due sistemi per risolvere la disequazione irrazionale.

$1)\ \begin{cases} 5-x^2\ge 0\\ x\ge 0\\ 5-x^2 > x^2\end{cases}\quad\vee\quad 2)\ \begin{cases} 5-x^2\ge 0\\ x < 0\end{cases}$

Risolviamo il primo sistema:

$\begin{cases} 5-x^2\ge 0\\ x\ge 0\\ 5-x^2 > x^2\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases} x^2\le 5\\ x\ge 0\\ 2x^2 < 5\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases} -\sqrt{5}\le x\le \sqrt{5}\\ x\ge 0\\ -\sqrt{\frac{5}{2}} < x < \sqrt{\frac{5}{2}}\end{cases}$

Tale sistema ha soluzione:

$$0\le x < \sqrt{\frac{5}{2}}$$

Risolviamo il secondo sistema:

$\begin{cases} 5-x^2\ge 0\\ x < 0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases} -\sqrt{5}\le x\le \sqrt{5}\ge 0\\ x < 0\end{cases}$

Questo secondo sistema ha soluzione:

$$-\sqrt{5}\le x <0$$

Infine, la soluzione della disequazione irrazionale (nonché il campo di esistenza della disequazione logartimica) è data dall'unione delle soluzioni dei due sistemi, ovvero:

$$0\le x < \sqrt{\frac{5}{2}}\quad\vee\quad -\sqrt{5}\le x <0\quad\Rightarrow\quad -\sqrt{5}\le x < \sqrt{\frac{5}{2}}$$

Riprendiamo la disequazione iniziale scrivendo i passaggi necessari per risolverla:

$\begin{array}{l}\log_2 (\sqrt{5-x^2}-x)=0\quad\Rightarrow\quad \log_2 (\sqrt{5-x^2}-x)=\log_2 1 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{5-x^2}-x = 1 \quad\Rightarrow\\ \Rightarrow\quad \sqrt{5-x^2}=x+1\end{array}$

Essendo il primo membro sempre maggiore o uguale di 0, dobbiamo imporre che lo sia pure il secondo membro, ovvero:

$$x+1\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge -1$$

Fatto ciò, possiamo elevare al quadrato entrambi i membri e risolvere quindi l'equazione:

$5-x^2=x^2+2x+1\quad\Rightarrow\quad 2x^2+2x-4=0\quad\Rightarrow\quad x^2+x-2=0\quad\Rightarrow\quad x=1\mbox{ e } x=-2$

L'unica soluzione accettabile è $x=1$ in accordo con le condizioni di esistenza del logaritmo ($-\sqrt{5}\le x < \sqrt{\frac{5}{2}}$) e con la condizione $x\ge -1$.

Equazione 5

$$\log_2 ||x^2-3|-1|=1$$

Poichè l'argomento del logaritmo è sempre un numero maggiore o uguale a 0, il campo di esistenza per l'equazione data si riduce a:

$|x^2-3|-1\neq 0 \quad\Rightarrow\quad |x^2-3|\neq 1 \quad\Rightarrow\quad x^2-3\neq\pm 1$

Da $x^2-3\neq 1$, otteniamo:

$x^2\neq 4\quad\Rightarrow\quad x\neq\pm 2$

Da $x^2-3\neq -1$, otteniamo:

$x^2\neq 2\quad\Rightarrow\quad x\neq\pm\sqrt{2}$

Passiamo alla procedimento risolutivo dell'equazione:

$\log_2 ||x^2-3|-1|=1\quad\Rightarrow\quad \log_2 ||x^2-3|-1|=\log_2 2 \quad\Rightarrow\quad ||x^2-3|-1|= 2 \quad\Rightarrow\quad |x^2-3|-1=\pm 2$

Da $|x^2-3|-1= -2$ si ha $|x^2-3|=-3$ che è impossibile!

Da $|x^2-3|-1= 2$ segue:

$|x^2-3|=3 \quad\Rightarrow\quad x^2-3=\pm 3$

Quest'ultima, a sua volta, e equivalente a risolvere le seguenti equazioni:

$\begin{array}{l} x^2-3= -3\quad\Rightarrow\quad x=0\\ x^2-3=3\quad\Rightarrow\quad x^2=6\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{6}\end{array}$

In conclusione, le soluzioni accettabili dell'equazione data sono:

$$x=0\quad\mbox{ e }\quad x=\pm\sqrt{6}$$

Se vuoi, puoi anche consultare le disequazioni con i logaritmi risolte cliccando sul seguente link

Vai alle disequazioni logaritmiche

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