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Disequazioni di secondo grado

In questo articolo illustreremo come risolvere una qualsiasi disequazione di secondo grado razionale intera (ossia a coefficienti reali e aventi l'incognita solo al numeratore).

Ogni disequazione di secondo grado può essere ricondotta alla forma normale

$$ax^2+bx+c\underset{\le}{\ge}0\mbox{ con } a\neq 0\quad (\bigstar)$$

Saper risolvere una disequazione di questo tipo significa saper stabilire il segno che assume il trinomio

$$ax^2+bx+c$$

Ricordiamo che, a seconda del segno del discriminante $\Delta=b^2-4ac$, il trinomio suddetto si può annullare per due valori reali e distinti o coincidenti oppure per nessun valore (leggi approfondimento qui).

Supposti, $x_1$ e $x_2$ gli eventuali zeri del trinomio, ovvero le radici dell'equazione $ax^2+bx+c=0$, e supposto $x_1\le x_2$ ed $a>0$, la seguente tabella riassume lo studio del segno del trinomio in funzione del segno del delta senza doverci preoccupare del segno di $a$:

Schema per risoluzione disequazioni di secondo grado

Lo schema appena visto consente di risolvere tutti i tipi di disequazioni razionali intere di secondo grado.

A tal proposito è utile classificare le disequazioni di secondo grado in due categorie:

  • Disequazioni di secondo grado complete (quelle in cui appaiono tutti e tre i coefficienti a,b,c)
  • Disequazioni di secondo grado incomplete (quelle in cui non appaiono almeno uno tra i due coefficiente b e c)

 

Analizziamo la loro risoluzione in dettaglio.

Disequazioni di secondo grado complete

Per risolvere una disequazione di secondo grado completa del tipo $(\bigstar)$ è necessario, dapprima, risolvere la sua equazione di secondo grado associata con la formula del delta: $$ax^2+bx+c=0\ \Rightarrow\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$$ dove $\Delta=b^2-4ac$. Chiaramente, l'equazione suddetta avrà soluzioni solo nel caso in cui $\Delta\geq 0$.

A questo punto, in base al segno del delta ($\Delta>0$, $\Delta < 0$ oppure $\Delta=0$) e in base al verso della disequazione di partenza, andremo a cadere in una cella ben specifica della tabella di cui sopra: tale cella identificherà la soluzione della disequazione.

Esempio:

Risolvere la seguente disequazione di secondo grado $$x^2-4x-5>0$$

Risolviamo la disequazione proposta esaminando dapprima il segno di $\frac{\Delta}{4}$:

$$\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=2^2-[1\cdot (-5)]=4+5=9>0$$

Poichè il delta è maggiore di $0$, l'equazione associata alla nostra disequazione ($x^2-4x-5=0$) ha due soluzioni reali e distinte. Calcoliamole usando la formula risolutiva ridotta ridotta per le equazioni di secondo grado:

$$x_{1,2}=2\pm\sqrt{9}=2\pm 3$$

Dunque, le soluzioni dell'equazione sono $x_1=2-3=-1$ e $x_2=2+3=5$.

Dalla tabella riassuntiva dello studio del segno del trinomio, intercettando la cella corrispondente a $\Delta>0$ e verso della disequazione $>$, troviamo le soluzioni della disequazione data:

$$x<-1\ \vee\ x>5$$

oppure, sotto forma di intervallo:

$$]-\infty, -1[\ \cup\ ]5,+\infty[$$

Per risolvere una disequazione di secondo grado incompleta, non è necessario applicare la formula del delta esattamente come visto per le equazioni di secondo grado incomplete.

Disequazioni di secondo grado senza termine x

La disequazione si presenta nella forma generica $$ax^2+c\underset{\le}{\ge}0\ (\bigstar\bigstar)$$ la cui equazione associata $ax^2+c=0$ può essere risolta come risolviamo le EQUAZIONI DI PRIMO GRADO, ossia isolando la $x$ al primo membro: $$ax^2=-c\ \Rightarrow\ x^2=-\frac{c}{a}$$ e applicando infine la radice quadrata ad ambo i membri: $$x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$$

Dall'ultima espressione ottenuta si capisce che se il termine sotto radice $-\frac{c}{a}$ è negativo, il tutto non avrebbe senso, ossia l'equazione associata è impossibile ($\Delta < 0$). In questo caso la soluzione della disequazione $(\bigstar\bigstar)$ sarà una tra quelle presenti nella seconda riga della solita tabella. Il verso della disequazione, identificherà univocamente tale soluzione.

Esempio:

Risolvere la seguente disequazione di secondo grado $$25-x^2>0$$

Innanzitutto mettiamo in ordine i termini della disequazione:

$$-x^2+25>0$$

Inoltre, facciamo in modo che il coeffciente di $x^2$ diventi positivo, moltiplicando ambo i membri per $-1$:

$$x^2-25 < 0$$

Come fatto nell'esempio precendente, calcoliamo il segno del delta quarti:

$$\frac{\Delta}{4}=0-(-25)=25>0$$

Calcoliamo le due soluzioni reali e distinte:

$$x_{1,2}=\pm\sqrt{25}=\pm 5$$

Infine, andando a leggere lo schema riassuntivo in corrispondenza della riga con $\Delta >0$ e verso $<$ scriviamo le soluzioni della disequazione mediante gli operatori di disuquaglianza

$$-5 < x < 5$$

e sottoforma di intervallo

$$]-5,5[$$

Disequazioni di secondo grado senza termine noto

La disequazione si presenta nella forma generica $$ax^2+bx\underset{\le}{\ge}0\ (\bigstar\bigstar\bigstar)$$

Risolviamo la sua equazione associata mettendo a fattor comune la $x$: $$ax^2+bx=0\ \Rightarrow\ x\cdot(ax+b)=0\begin{array}{l} \nearrow\\ \searrow\end{array} \begin{array}{l} x= 0\ \\ \\ ax+b=0\ \Rightarrow\ x=-\frac{b}{a}\end{array}$$

In questo caso, poichè l'equazione associata ha due soluzioni distinte dovrà essere $\Delta > 0$, il che vuol dire che la soluzione della disequazione $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ giacerà sulla prima riga della tabella risolutiva. Analogamente ai casi precedenti, identificando il verso della disequazione, possiamo risalire alla sua soluzione guardando appunto la tabella risolutiva.

Esempio:

Risolvere la seguente disequazione di secondo grado $$x^2-5x < 0$$

Risolviamo l'equazione associata: $$x^2-5x=0\ \Rightarrow\ x(x-5)=0\begin{array}{l} \nearrow\\ \searrow\end{array} \begin{array}{l} x= 0\ \\ \\ x-5=0\ \Rightarrow\ x=5\end{array}$$

Dunque, poichè le soluzioni dell'equazione associata sono distinte $\Delta > 0$ e dato che il verso della disequazione è $<$, le soluzione saranno quelle interne (prima riga, 3 colonna della tabella risolutiva): $$0 < x < 5$$ oppure sotto forma di intervallo: $$]0,5[$$

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