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Disequazioni fratte

Una disequazione si dice fratta se l'incognita $x$ compare al denominatore.

Di seguito un breve schema che riassume in maniera semplice e immediata come risolvere una disequazione fratta dopo aver fatto eventuali passaggi per riscriverla nella forma $$\frac{N}{D}\underset{\le}{\ge}0$$

Indicando con $N$ e $D$ rispettivamente i generici numeratore e denominatore della frazione, si possono avere i seguenti 4 casi:

  1. Caso $\frac{N}{D}>0$:
  2. si trovano le soluzioni di $N>0\ $ (1) e $B>0\ $ (2), per poi fare il prodotto dei segni tra (1) e (2) prendendo la parte $>0$.
  3. Caso $\frac{N}{D}\ge 0$:
  4. si trovano le soluzioni di $N\ge 0\ $ (1) e $B>0\ $ (2), per poi fare il prodotto dei segni tra (1) e (2) prendendo la parte $>0$.
  5. Caso $\frac{N}{D} < 0$:
  6. si trovano le soluzioni di $N>0\ $ (1) e $B>0\ $ (2), per poi fare il prodotto dei segni tra (1) e (2) prendendo la parte $< 0$.
  7. Caso $\frac{N}{D}\le 0$:
  8. si trovano le soluzioni di $N\ge 0\ $ (1) e $B>0\ $ (2), per poi fare il prodotto dei segni tra (1) e (2) prendendo la parte $< 0$.

Risolviamo ad esempio la seguente disequazione

$$\frac{x+1}{x-1}\geq\frac{3}{4}$$

Per prima cosa scriviamo la disequazione in modo da avere una sola frazione a primo membro e 0 a secondo membro, ossia nella forma $\frac{N}{D}\ge 0$: $$\begin{array}{l} \frac{x+1}{x-1}-\frac{3}{4}\geq 0\\ \frac{4(x+1-3(x-1)}{4(x-1)}\geq 0\\ \frac{x+7}{4(x-1)}\geq 0\end{array}$$

Moltiplichiamo ambo i membri per 4 in modo da toglierlo dal denominatore: $$\frac{x+7}{x-1}\geq 0$$

Adesso poniamo $$\begin{array}{l} N\geq 0:\ x+7\geq 0\ \Rightarrow\ x\geq -7\qquad\color{red}{(1)}\\ D > 0:\ x-1 > 0\ \Rightarrow\ x > 1\qquad\color{red}{(2)}\end{array}$$

Grafichiamo sulla retta reale le soluzioni $(1)$ e $(2)$ ed eseguiamo il prodotto dei segni (linea continua vale + mentre linea tratteggiata vale -) cosi come segue: prodotto dei segni per la risoluzione di una disequazione fratta

Dato che il verso della disuguaglianza è $\geq$, la soluzione coincide con l'unione degli intervalli in cui il prodotto dei segni è risultato +, ossia $$x\leq 1\ \vee\ x > 1$$

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