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Disequazioni con valore assoluto

Ricordiamo che, si dice valore assoluto di un'espressione $A(x)$:

$$|A(x)|=\left\{ \begin{array}{ll} A(x) & \mbox{se } A(x)\ge 0\\ -A(x) & \mbox{se } A(x) < 0 \end{array}\right.$$

Leggi qui approfondimento.

Il procedimento adottato per risolvere una disequazione con valore assoluto varia a seconda dei casi in cui ci troviamo.

Disequazione con l'incognita al secondo membro

Supponiamo di voler risolvere la seguente disequazione:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{|A(x)|>B(x)}$$

dove sia $A(x)$ che $B(x)$ variano al variare dell'incognita $x$.

Considerando la definizione di valore assoluto di un'espressione, per risolvere tale disequazione devo studiare dapprima il caso $A(x)\ge 0$, da cui la disequazione di partenza sarà equivalente a

$$A(x)>B(x)$$

e poi, il caso $A(x) < 0$, da cui seguirà la disequazione

$$-A(x) > B(x)$$

In breve, bisogna risolvere i seguenti sistemi e trovare l'unione delle rispettive soluzioni:

$$\left\{ \begin{array}{l} A(x)\ge 0 \\ A(x) > B(x) \end{array}\right. \vee \left\{ \begin{array}{l} A(x) < 0 \\ -A(x) > B(x) \end{array}\right.$$

Se il verso della disequazione iniziale fosse stato $<$ avrei ragionato analogamente riscrivendo la disequazione senza valore assoluto con il verso $<$.

Esempio:

Risolvere la seguente disequazione con valore assoluto $$|x^2-1| < 2x+1$$

Scriviamo i due sistemi da risolvere:

$$\left\{ \begin{array}{l} x^2-1\ge 0 \\ x^2-1 < 2x+1 \end{array}\right. \vee \left\{ \begin{array}{l} x^2-1 < 0 \\ -(x^2-1) < 2x+1 \end{array}\right.$$

Il primo sistema diventa:

$$\left\{ \begin{array}{l} x\le -1\ \vee\ x\ge 1 \\ x^2-2x-2 < 0 \end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad \left\{ \begin{array}{l} x\le -1\ \vee\ x\ge 1 \\ 1-\sqrt{3} < x < 1+\sqrt{3} \end{array}\right.$$

Riportiamo le soluzioni sulla retta reale e mettiamole a sistema:

grafico sistema 4 disequazioni

Risolviamo il secondo sistema

$$\left\{ \begin{array}{l} -1 < x < 1 \\ x^2+2x > 0 \end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad \left\{ \begin{array}{l} -1 < x < 1 \\ x < -1\ \vee\ x > 0 \end{array}\right.$$ grafico sistema 5 disequazioni

Unendo le soluzioni dei due sistemi trovati, ottengo la soluzione della disequazione data:

$$0 < x \le 1+\sqrt{3}$$

Disequazione con secondo membro costante

Supponiamo, invece, di voler risolvere i seguenti tipi di disequazioni $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{|A(x)|>B\quad\quad |A(x)| < B}$$

dove soltanto $A(x)$ varia al variare dell'incognita $x$, mentre $B$ è una costante (un numero per intenderci).

Analizziamo la prima disequazione proposta.

Facendo gli stessi ragionamenti fatti per il caso più complesso ($B(x)$), si verifica facilmente che i due sistemi precedenti si riconducono semplicemente a risolvere le seguenti disequazioni razionali:

$$A(x) < -B\ \vee\ A(x)>B$$

Analogamente per la seconda disequazione proposta, i due sistemi precedenti sono equivalenti alla seguente disequazione:

$$-B < A(x) < B$$

Esempio:

Risolvere le due disequazioni $$\begin{array}{ll} \mbox{a) } &|2x+1| > 7\\ \mbox{b) } &|x-3|\le 5\end{array}$$

La disequazione a è verificata sia per $2x+1 < -7$ sia per $2x+1 >7$. Le sue soluzioni sono pertanto tutti i valori di $x$ soddisfacenti l'una o l'altra delle due condizioni:

$$x < -4\ \vee\ x>3$$

La disequazione b è invece verificata quando $-5\le x-3\le 5$. Questa duplice condizione è equivalente al sistema:

$$\left\{\begin{array}{l} x-3 \ge -5\\ x-3\le 5\end{array}\right.$$

ossia

$$\left\{\begin{array}{l} x \ge -2\\ x\le 8\end{array}\right.$$

Le soluzioni sono pertanto tutti i valori di $x$ per i quali risulti soddisfatta la condizione

$$-2\le x\le 8$$

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