NOTA! Questo sito utilizza i cookie e tecnologie simili.

Se non si modificano le impostazioni del browser, l'utente accetta. Per saperne di piu'

Approvo

Disequazioni logaritmiche

Per risolvere una disequazione logaritmica del tipo $$\log_a A(x)>b$$

si determina dapprima il numero $n=a^b$ e quindi si esprime $b$ nella forma $\log_a n$, ottenendo la disequazione: $$\log_a A(x)>\log_a n$$

Tale disequazione è equivalente a $$A(x)>0\quad\mbox{se}\quad a>1$$ oppure al sistema $$\left\{\begin{array}{ll} A(x)>0\\ A(x) < n\end{array}\right.\quad\mbox{se}\quad 0 < a < 1$$

Invece, una disequazione logaritmica del tipo $$\log_a A(x) > \log_a B(x)$$

è equivalente al sistema $$\left\{\begin{array}{ll} B(x)>0\\ A(x) > B(x)\end{array}\right.\quad\mbox{se}\quad a > 1$$ oppure al sistema $$\left\{\begin{array}{ll} A(x)>0\\ A(x) < B(x)\end{array}\right.\quad\mbox{se}\quad 0 < a < 1$$

Esempio:

Risolvere la disequazione: $$\log_3(x^2-2x-2)>0$$

Prima di tutto determiniamo il campo di esistenza del logaritmo ponendo il suo argomento maggiore di $0$:

$$x^2-2x-2>0\quad\Rightarrow\quad x < 1-\sqrt{2}\ \vee\ x>1+\sqrt{2}$$

Dopodichè, scriviamo $0$ come il $\log_3 1$ e sostituendolo nella disequazione di partenza otteniamo:

$$\log_3(x^2-2x-2)>\log_3 1$$

Essendo la base del logaritmo maggiore di $1$, possiamo togliere i logaritmi mantenendo la stessa relazione di disuguaglianza tra i due membri($>$):

$$x^2-2x-2>1\quad\Rightarrow\quad x^2-2x-3>0\quad\Rightarrow\quad x < -1\ \vee\ x>3$$

Infine, bisogna mettere a sistema quest'ultima soluzione ottenuta con il campo di esistenza per escludere eventuali valori che stanno al di fuori del campo di definizione del logaritmo:

$$\left\{\begin{array}{l} x < 1-\sqrt{2}\ \vee\ x>1+\sqrt{2}\\ x < -1\ \vee\ x>3\end{array}\right.$$

Tale sistema ha come soluzione $x < -1\ \vee\ x>3$ che è quindi la soluzione della disequazione proposta.

Esempio:

Risolvere la disequazione: $$\log_2(x^2-1)<3$$

La disequazione proposta è equivalente al sistema tra la condizione di esistenza del logaritmo:

$$x^2-1>0$$

e la disequazione

$$x^2-1<\log_2 2^3$$

Impostiamo, quindi il sistema e risolviamolo:

$$\left\{\begin{array}{l} x^2-1>0\\ x^2-1<\log_2 2^3\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\{\begin{array}{l} x^2-1>0\\ x^2-1<2^3\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\{\begin{array}{l} x < -1\ \vee\ x>1\\ -3 < x < 3\end{array}\right.$$

Le soluzioni di quest'ultimo sistema vengono determinate tramite la loro rappresentazione grafica sulla retta reale:

rappresentazione grafica sistema disequazione logaritmica

Esempio:

Risolvere la disequazione: $$\log_{\frac{1}{2}}(4-x)>\log_{\frac{1}{2}}(x+2)$$

Imponiamo il campo di esistenza dei due logaritmi:

$$4-x>0\quad\quad\mbox{e}\quad\quad x+2>0$$

da mettere a sistema con le soluzioni della disequazione che si ottiene da quella data togliendo i logaritmi:

$$4-x< x+2$$

N.B:togliendo i logaritmi si deve necessariamente cambiare verso alla disequazione poichè la base del logaritmo è compresa tra $0$ e $1$.

Il sistema da risolvere è il seguente:

$$\left\{\begin{array}{l} 4-x>0\\ x+2>0\\ 4-x< x+2\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\{\begin{array}{l} x < 4\\ x>-2\\ x>1\end{array}\right.$$

dove però la seconda condizione ($x>-2$) non è necessaria perchè implicita nelle altre due. Risolvendo il sistema si ottiene

$$1 < x < 4$$

Vai agli esercizi

Letto 594 volte

Effettua il LOGIN al sito per aggiungere commenti oppure REGISTRATI se non hai ancora un account.