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Disequazioni irrazionali

Una disequazione si dice irrazionale quando l'incognita $x$ compare all'interno di una radice. Il procedimento risolutivo per tali tipi di disequazioni varia a seconda che l'indice della radice è pari o dispari.

Disequazioni irrazionali con un solo radicale di indice dispari

Consideriamo le seguenti disequazioni irrazionali:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\sqrt[n]{A(x)} > B(x)\quad\quad\mbox{o}\quad\quad \sqrt[n]{A(x)} < B(x)}$$

dove $A(x)$ e $B(x)$ rappresentano delle espressioni razionali della variabile $x$ ed $n$ un numero intero positivo dispari.

Osserviamo che la radice ennesima di indice dispari è sempre definita (per qualsiasi radicando positivo, negativo o nullo), per cui, per risolvere le disequazioni date, basta elevare ad $n$ entrambi i membri delle disuguaglianze e risolvere la disequazione razionale che si ottiene:

$$A(x)>[B(x)]^n\quad\quad\mbox{o analogamente}\quad\quad A(x) < [B(x)]^n$$

Esempio di disequazione con radici di ordine dispari

Risolvere la disequazione $$\sqrt[3]{x^3+3x^2-x-27} < x-3$$

Il radicale di indice dispari è definito per ogni valore di $x$ e la disequazione è equivalente a quella che si ottiene elevando al cubo entrambi i suoi membri. Abbiamo quindi:

$$x^3+3x^2-x-27 < (x-3)^3$$

Svolgendo le operazioni indicate e riducendo i termini simili (verificarlo per esercizio) abbiamo poi: $$12x^2-28x < 0\quad\Rightarrow\quad 0 < x < \frac{7}{3}$$

Disequazioni irrazionali con un solo radicale di indice pari

Per affrontare la risoluzione di questi tipi di disequazioni dobbiamo distinguere due diversi casi, a secondo che il verso della disequazione sia $<$ o $>$.

Disequazione con verso $>$

Supponiamo di voler risolvere

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\sqrt[n]{A(x)}>B(x)}$$

con $n$ numero intero positivo pari.

Per prima cosa osserviamo che bisogna imporre la condizione di esistenza di una radice di indice pari:

$$A(x)\ge 0$$

dato che tali radici non esistono per radicandi negativi.

Se poi $B(x)\ge 0$ la disequazione di partenza sarà equivalente a quella che si ottiene elevando ad $n$ entrambi i membri della disequazione:

$$A(x)>[B(x)]^n$$

Se, invece, $B(x)< 0$ la disequazione è certamente verificata perchè avremmo una quantità positiva o nulla ($\sqrt[n]{A(x)}$) maggiore di una quantità negativa ($B(x)$).

Si conclude così che sono soluzioni della disequazione irrazionale proposta tutte e sole le soluzioni dell'unione dei due sistemi seguente:

$$\left\{ \begin{array}{l} A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \\ A(x) > [B(x)]^n \end{array}\right. \vee \left\{ \begin{array}{l} A(x)\ge 0 \\ B(x) < 0 \end{array}\right.$$

Esempio di disequazione con radici di ordine pari e verso $>$

Risolvere la disequazione $$\sqrt{x+4} > x-1$$

La disequazione è equivalente ai due sistemi

$$\left\{ \begin{array}{l} x+4\ge 0 \\ x-1\ge 0 \\ x+4 > (x-1)^2 \end{array}\right. \vee \left\{ \begin{array}{l} x+4\ge 0 \\ x-1 < 0 \end{array}\right.$$

Risolviamo il primo sistema:

$$\left\{ \begin{array}{l} x\ge -4 \\ x\ge 1 \\ x+4 > x^2-2x+1 \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge -4 \\ x\ge 1 \\ x^2-3x-3 < 0 \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge -4 \\ x\ge 1 \\ \frac{3-\sqrt{21}}{2}< x < \frac{3+\sqrt{21}}{2} \end{array}\right.$$

Troviamo la soluzione del sistema graficando le soluzioni sulla retta reale:

grafico sistema disequazioni

Risolviamo il secondo sistema:

$$\left\{ \begin{array}{l} x\ge -4 \\ x < 1 \end{array}\right.$$ grafico sistema 2 disequazioni

Unendo le due soluzioni trovate, la disequazione proposta è dunque soddisfatta per

$$-4\le x< \frac{3+\sqrt{21}}{2}$$

Disequazione con verso $<$

Sia da risolvere la disequazione

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\sqrt[n]{A(x)}< B(x)}$$

con $n$ pari.

Anche in questo caso deve essere

$$A(x)\ge 0$$

Visto che $\sqrt[n]{A(x)}\ge 0$, affichè possa essere verificata la disequazione proposta dovrà necessariamente essere

$$B(x)\ge 0$$

A questo punto, essendo positivi entrambi i membri della disequazione, posso elevarli alla $n$ ottenendo:

$$A(x)< [B(x)]^n$$

Concludiamo dunque che sono soluzioni della disequazione irrazionale data tutte e sole le soluzioni del sistema

$$\left\{ \begin{array}{l} A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \\ A(x) < [B(x)]^n \end{array}\right.$$

Esempio di disequazioni con radici di indice pari e verso $<$

Risolvere la disequazione $$\sqrt{x^2-4x+3} < x+1$$

La disequazione è equivalente al sistema

$$\left\{ \begin{array}{l} x^2-4x+3\ge 0 \\ x+1\ge 0 \\ x^2-4x+3 < (x+1)^2 \end{array}\right.$$

Risolviamo il sistema:

$$\left\{ \begin{array}{l} x\le 1\ \vee\ x\ge 3\\ x\ge -1 \\ x^2-4x+3 < x^2+2x+1 \end{array}\right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} x\le 1\ \vee\ x\ge 3\\ x\ge -1 \\ 6x-2 > 0 \end{array}\right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} x\le 1\ \vee\ x\ge 3\\ x\ge -1 \\ x > \frac{1}{3} \end{array}\right.$$ grafico sistema 3 disequazioni

Il sistema (e quindi anche la disequazione proposta) è soddisfatta per:

$$\frac{1}{3} < x \le 1\ \vee\ x\ge 3$$

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