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Disequazioni esponenziali

Dato un numero $b\ge 0$:

  1. la disequazione $a^{A(x)}>-b$ è verificata per ogni valore di $A(x)$;
  2. la disequazione $a^{A(x)}< -b$ è impossibile.

Se $b> 0$ la disequazione $a^{A(x)}>b$:

  1. se $a>$1 è equivalente alla disequazione $A(x)>\log_a b$;
  2. se $0 < a < 1$ è equivalente alla disequazione $A(x) < \log_a b$.

La disequazione $a^{A(x)}>a^{B(x)}$:

  1. se $a>1$ è equivalente alla disequazione $A(x)>B(x)$;
  2. se $0 < a < 1$ è equivalente alla disequazione $A(x) < B(x)$.

Esempio:

Risolvere la disequazione: $$2^{x^2-3x}>1$$

Trasformando $1$ in $2^0$, affichè la disuguaglianza sia verificata deve essere:

$$2^{x^2-3x}>2^0\quad\Rightarrow\quad x^2-3x>0 \quad\Rightarrow\quad x < 0\ \vee\ x>3$$

Esempio:

Risolvere la disequazione: $$\left(\frac{1}{3}\right)^{2x-5}>\frac{1}{3}$$

Essendo le basi delle potenze minori di $1$, affichè la disuguaglianza sia verificata deve essere:

$$2x-5 < 1\quad\Rightarrow\quad x < 3$$

N.B:togliendo le basi delle potenze (minori di $1$) da una disequazione esponenziale si deve necessariamente cambiare verso alla disequazione.

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