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Teorema di Cramer (sistemi lineari nxn)

Prima di enunciare il teorema di Cramer, premettiamo alcune cose.

Sia dato un sistema lineare di $n$ equazioni in $n$ incognite. La matrice incompleta $A$ sarà una matrice quadrata di ordine $n$.

Un sistema lineare $A\overline{x}=\overline{b}$, con $A$ di ordine $n$, si dice normale se risulta $|A|\neq 0$. In tal caso si denota con $A_j$ la matrice $n\times n$ ottenuta da $A$ sostituendo la colonna j-esima con la colonna dei termini noti $\overline{b}$.

Enunciato del teorema di Cramer

Ogni sistema lineare normale $A\overline{x}=\overline{b}$ è possibile determinato, con (unica) soluzione data dal vettore ($n\times 1$)

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\overline{x}=A^{-1}\cdot\overline{b}}$$

Tale soluzione si può anche scrivere:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\left(\frac{|A_1|}{|A|},\frac{|A_2|}{|A|},\dots ,\frac{|A_n|}{|A|}\right)}$$

Esempio di calcolo soluzione sistema lineare non omogeneo con metodo di Cramer

Calcoliamo (se possibile) le soluzioni del seguente sistema lineare:

$$\begin{cases} 2x+2y+z=1\\ x-2z=-5\\ 3x+y-z=-2\end{cases}$$

Essendo $$|A|=\left|\begin{matrix} 2 & 2 & 1\\ 1 & 0 & -2\\ 3 & 1 & -1\end{matrix}\right|=-12+1+2+4=-5\neq 0$$ il sistema è normale e quindi possiamo applicare il teorema di Cramer. Calcoliamo i determinanti di $A_1,A_2,A_3$:

$$|A_1|=\left|\begin{matrix} 1 & 2 & 1\\ -5 & 0 & -2\\ -2 & 1 & -1\end{matrix}\right|=-5,\quad |A_2|=\left|\begin{matrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & -5 & -2\\ 3 & -2 & -1\end{matrix}\right|=10,\quad |A_3|=\left|\begin{matrix} 2 & 2 & 1\\ 1 & 0 & -5\\ 3 & 1 & -2\end{matrix}\right|=-15$$

Per Cramer, abbiamo che l'unica soluzione del sistema è:

$$\left(\frac{-5}{-5},\frac{10}{-5},\frac{-15}{-5}\right)=(1,-2,3)$$

Esempio di calcolo soluzione sistema lineare omogeneo con metodo di Cramer

Consideriamo il sistema lineare precedente mettendo ponendo a $0$ tutti i termini noti:

$$\begin{cases} 2x+2y+z=0\\ x-2z=0\\ 3x+y-z=0\end{cases}$$

Per Cramer sappiamo che esiste una sola soluzione (dato che $|A|\neq 0$) e, visto che il sistema è omogeneo, tale soluzione è quella banale $(0,0,0)$.

Se il sistema lineare è tale che la matrice incompleta $A$ ha determinante o il numero di equazioni $m$ è diverso dal numero di incognite $n$ (ovvero si ha un sistema $m\times n$), ricorriamo al teorema di Rouché-Capelli per risolverlo.

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