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Sistemi lineari con parametro risolti

Se hai già avuto modo di impratichirti con la risoluzione di sistemi lineari utilizzando i teoremi di Cramer e Rouchè-Capelli, sicuramente sarai pronto per risolvere i sistemi lineari che contengono un parametro reale. In pratica, in questo articolo vedremo come studiare un sistema lineare al variare di un parametro reale $a$ utilizzando i teoremi suddetti.

Risolviamo i seguenti sistemi lineari al variare del parametro $a$:

  1. $\begin{cases} ax-(2+a)y=1\\ -2x+(a+2)y=1\\ x-ay=1\end{cases}$
  2. $\begin{cases} ax+(1-a)y+z=2\\ -4x+ay=-2a+4\\ -2x+(a-1)y+z=-4\end{cases}$
  3. $\begin{cases} ax+(1-a)z=2a-1\\ -x+2ay+z=1\\ (1-a)y+z=a\end{cases}$

Sistema 1

$$\begin{cases} ax-(2+a)y=1\\ -2x+(a+2)y=1\\ x-ay=1\end{cases}$$

Troviamo il rango della matrice incompleta $$A=\left(\begin{matrix} a & (-2+a)\\ -2 & (a+2)\\ 1 & -a\end{matrix}\right)$$ al variare del parametro reale $a$, calcolando i determinanti degli 2 orlati dell'elemento $a_{31}=1\neq 0$ (vedi procedura bottom-up):

$$\left|\begin{matrix} -2 & (a+2)\\ 1 & -a\end{matrix}\right|=a-2\,\quad\left|\begin{matrix} a & (-2+a)\\ 1 & -a\end{matrix}\right|=-a^2+2-a$$

Il 1° si annulla per $a=2$, il 2° quando $-a^2+2-a=0\ \Leftrightarrow\ a^2+a-2=0$, ossia per:

$$a=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\{-2,1\}$$

Da questo si deduce che $r(A)=2$ per $a\neq -2,1,2$ e ovviamente $r(A)=1$ altrimenti.

Calcoliamo, adesso, il rango della matrice completa calcolando il suo determinante (dato che è una matrice quadrata) tramite la regola di Sarrus:

$$\begin{array}{l} |B|&=\left|\begin{matrix} a & (-2+a) & 1\\ -2 & (a+2)& 1\\ 1 & -a & 1\end{matrix}\right|\begin{matrix} a & (-2+a)\\ -2 & (a+2)\\ 1 & -a\end{matrix}=\\ &=a^2+2a-2+a+2a-a-2+a^2-4+2a=\\ &=2a^2+6a-8\end{array}$$

Esso si annulla quando $2a^2+6a-8=0\ \Leftrightarrow\ a^2+3a-4=0$, ossia per:

$$a=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\{-4,1\}$$

Considerando anche ciò che è stato detto sul rango di $A$, si ha:

  • $r(B)=3 > r(A)=2$ per $a\neq -4,1$ (cioè per infiniti valori).
  • $r(B)=2=r(A)$ per $a=-4$.
  • $r(B)=1=r(A)$ per $a=1$.

Dunque, per il Teorema di Rouchè-Capelli, il sistema risulta possibile soltanto nel 2° e 3° caso ($r(A)=r(B)$), ossia solo per $a=-4,1$. Per tali valori di $a$ il sistema è indeterminato perchè il rango risulta minore del numero di incognite del sistema (3).

Dal 1° caso, invece, si deduce che il sistema è impossibile per infiniti valori di $a$.

Per quello detto, il sistema non potrai mai essere determinato (con un'unica soluzione).

Sistema 2

$$\begin{cases} ax+(1-a)y+z=2\\ -4x+ay=-2a+4\\ -2x+(a-1)y+z=-4\end{cases}$$

Troviamo il rango della matrice incompleta calcolando il suo determinante (dato che è quadrata) mediante la regola di Sarrus al variare del paramentro reale $a$: $$\begin{array}{l} |A|&=\left|\begin{matrix} a & (1-a) & 1\\ -4 & a & 0\\ -2 & (a-1) & 1\end{matrix}\right|\begin{matrix} a & (1-a)\\ -4 & a\\ -2 & (a-1)\end{matrix}=\\ &=a^2-4a+4+2a+4-4a=\\ &=a^2-6a+8\end{array}$$

il quale si annulla quando $a^2-6a+8=0$ ovvero per:

$$a=-3\pm\sqrt{9-8}=\{2,4\}$$

Dunque si ha che $r(A)=3$ per $a\neq\{2,4\}$. Inoltre possiamo dire che vale sempre $r(A)\ge 2$, poichè possiamo individuare un minore di ordine $2$ a determinante non nullo nella matrice $A$. Esso si ottiene estraendo da $A$ gli elementi della 2° e 3° riga, 1° e 3° colonna:

$$|M|=\left|\begin{matrix} -4 & 0\\ -2 & 1\end{matrix}\right|=-4\neq 0$$

Quindi, in particolare si avrà $r(A)=2$ per $a=\{2,4\}$.

Esaminiamo, adesso il rango della matrice completa $$B=\left(\begin{matrix} a & (1-a) & 1 & 2\\ -4 & a & 0 & -2a+4\\ -2 & (a-1) & 1 & -4\end{matrix}\right)$$ applicando la procedura bottom-up, cioè calcoliamo il determinante degli orlati del minore $M$ di ordine 2 precedentemente scelto. Il primo orlato coincide esattamente con la matrice incompleta $A$, e il suo determinante sappiamo che si annulla per $a=\{2,4\}$. Mentre, il determinante del secondo orlato è

$$\left|\begin{matrix} a & 1 & 2\\ -4 & 0 & -2a+4\\ -2 & 1 & -4\end{matrix}\right|=2a^2-32\neq 0$$

che si annulla per $a=\pm 4$.

Possiamo sintetizzare i risultati ottenuti:

  1. Per $a\neq\{2,4\}$ il sistema è possibile e determinato (cioè ha un'unica soluzione per Cramer).
  2. Per $a=2$ il sistema è impossibile dato che $r(A)=2 < r(B)=3$ (per Rouché-Capelli).
  3. Per $a=4$ il sistema è possibile e indeterminato dato che $r(A)=r(B)=2$ che è minore del numero di incognite (3) (per Rouché-Capelli).
  4. Per $a=-4$ il sistema è possibile e determinato dato che $r(A)=r(B)=3$ (per Rouchè-Capelli).

Sistema 3

$$\begin{cases} ax+(1-a)z=2a-1\\ -x+2ay+z=1\\ (1-a)y+z=a\end{cases}$$

Dato che il determinante della matrice incompleta $$\begin{array}{l} |A|&=\left|\begin{matrix} a & 0 &(1-a)\\ -1 & 2a & 1\\ 0 & (1-a) & 1\end{matrix}\right|\begin{matrix} a & 0\\ -1 & 2a\\ 0 & (1-a)\end{matrix}\\ &=2a^2-1+2a-a^2-a+a^2=\\ &=2a^2+a-1\end{array}$$ si annulla quando $2a^2+a-1=0$, ossia per $$a=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{4}=\bigg\{-1,\frac{1}{2}\bigg\}$$ per il teorema di Cramer si ha che il sistema è determinato (ha un'unica soluzione) per $a\neq\{-\frac{1}{2},1\}$. Per tali valori di $a$ si ha pure $r(A)=3$. Inoltre, osserviamo che $r(A)\ge 2\ \forall a\in\mathbb R$: basta considerare il minore formato dalla 2° e 3° riga, 1° e 3° colonna di $A$ e notare che il suo determinante è non nullo:

$$|M|=\left|\begin{matrix} -1 & 1\\ 0 & 1\end{matrix}\right|=-1\neq 0$$

Troviamo il rango della matrice completa $$B=\left(\begin{matrix} a & 0 &(1-a) & (2a-1)\\ -1 & 2a & 1 & 1\\ 0 & (1-a) & 1 & a\end{matrix}\right)$$ con il metodo bottom-up, ovvero calcolando i determinanti degli orlati del minore $M$. Un orlato è proprio $A$, il cui determinante si annulla per $a=\{-1,\frac{1}{2}\}$. Il secondo orlato invece ha determinante:

$$\left|\begin{matrix} a & (1-a) & (2a-1)\\ -1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & a\end{matrix}\right|=1-2a$$ che si annulla per $a=\frac{1}{2}$.

Quindi, $r(B)=3$ per $a\neq\frac{1}{2}$ e $r(B)=2$ altrimenti.

Ricapitolando si ha:

  1. Per $a\neq\big\{-1,\frac{1}{2}\big\}$ il sistema è determinato (ha un'unica soluzione).
  2. Per $a=-1$ il sistema è impossibile perchè $r(A)=2 < r(B)=3$ (per Rouché-Capelli).
  3. Per $a=\frac{1}{2}$ il sistema è possibile e indeterminato perchè $r(A)=r(B)=2$ ed è minore del numero di incognite (3) (per Rouché-Capelli).
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