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Rango di una matrice

Data una matrice $A$ di tipo $m\times n$ (non necessiariamente quadrata), dicesi rango di $A$ (o caratteristica di $A$), e si denota con $r(A)$, l'ordine massimo dei minori quadrati a determinante non nullo che si possono estrarre da $A$.

Procedura ordinaria per il calcolo del rango (top-down)

Seguendo la definizione, i passi da compiere per calcolare il rango di una matrice $A$ di tipo $m\times n$ sono i seguenti:

  1. calcolare $p=min(m,n)$;
  2. considerare tutti i minori di ordine $p$;
  3. se ne esiste almeno 1 con determinante non nullo, la procedura termina e possiamo concludere che $r(A)=p$; altrimenti, se $p>1$, decrementiamo $p$ di 1, e ritorniamo al punto 2) (cioè consideriamo tutti i minori di ordine $p-1$), se invece, $p=1$, possiamo concludere dicendo che il $r(A)=1$.

Qui di seguito un diagramma di flusso che schematizza la procedura per il calcolo del rango.

Diagramma di flusso per il calcolo del rango mediante procedura top down

Tale procedura è chiamata anche top-down perchè per prima si considerano i minori di ordine massimo (top) per poi eventualmente considerare quelli di ordine minore(down).

Esempio calcolo rango con il metodo "top-down"

La matrice $$A=\left(\begin{matrix} 3 & 0 & 1\\ 4 & -1 & 7\end{matrix}\right)$$ ha ovviamente $r(A)\le 2$ essendo $\min(2,3)=2$. Inoltre, $r(A)=2$ poichè il minore quadrato di ordine $2$ estratto da $A$ sopprimendo la 3° colonna ha determinante non nullo:

$$|M|=\left|\begin{matrix} 3 & 0\\ 4 & -1\end{matrix}\right|=-3\neq 0$$

Procedura rapida per il calcolo del rango (bottom-up)

In realtà esiste un metodo più veloce (soprattutto quando la matrice si fa più grande) per calcolare il rango di una matrice. Prima di esporlo, vediamo cosa sono gli orlati di una matrice.

Data una matrice $A$ di tipo $m\times n$ ed un suo minore $M$ di tipo $r\times c$ (con $r<m$ e $c<n$), dicesi orlato di $M$ in $A$ una matrice di tipo $(r+1)\times (s+1)$ che si ottiene aggiungendo ad $M$ una qualsiasi delle $m-r$ righe di $A$ e una qualsiasi delle $n-c$ colonne di $A$ non in $M$.

Esempio di orlato di un minore estratto da una matrice

Considerata la matrice $$A=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & -1 & 0 & 4\\ 3 & 0 & 1 & 2 & \pi\\ -7 & 1 & -3 & 5 & 9\end{matrix}\right)$$ gli orlati del minore $$M=\left(\begin{matrix} 2 & 0\\ 1 & 5\end{matrix}\right)$$ ottenuto estraendo gli elementi della 2° e 4° colonna, 1° e 3° riga di $A$ sono:

$$\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 0\\ 3 & 0 & 2\\ -7 & 1 & 5\end{matrix}\right),\quad\left(\begin{matrix} 2 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 2\\ 1 & -3 & 5\end{matrix}\right),\quad\left(\begin{matrix} 2 & 0 & 4\\ 0 & 2 & \pi\\ 1 & 5 & 9\end{matrix}\right)$$

Teorema di Pascal

Condizione necessaria e sufficiente affichè una matrice $A$ abbia rango $r$ è che:

  • $\exists\ M$ minore di $A$ di ordine $r$ tale che $|M|\neq 0$.
  • $|P|=0$ per ogni $P$ orlato di $M$

Il teorema di Pascal ci permette di calcolare il rango di una matrice usando una procedura bottom-up, piuttosto che la top-down già vista. Il vantaggio consiste nel poter calcolare un numero minore di determinanti.

I passi da seguire per il calcolo del rango tramite la procedura bottom-up sono:

  1. calcolare $p=min(m,n)$;
  2. considerare tutti i minori di ordine $2$;
  3. Se non esiste nessun minore di ordine $2$ a determinante non nullo, la procedura termina e possiamo concludere che $r(A)=1$; se ne esiste almeno 1 con determinante non nullo, calcoliamo i determinanti dei suoi orlati (di ordine $2+1=3$) finchè non ne trovo almeno uno non nullo. Se tutti i determinanti degli orlati si annullano concludo dicendo che $r(A)=2$; altrimenti prendiamo arbitrariamente uno tra quelli con determinante diverso da 0 e consideriamo i suoi orlati di ordine $4$ e così via ripetendo quanto appena fatto fino a che, o troviamo orlati con determinanti tutti nulli, oppure siamo arrivati alla dimensione massima dei minori estraibili dalla matrice ($p=min(m,n)$).

A differenza della procedura top-down, si considerano dapprima i minori di ordine inferiore (bottom) fino ad arrivare a quelli di ordine maggiore (up).

Esempio calcolo rango con il metodo "bottom-up"

Calcoliamo il rango della seguente matrice:

$$A=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & -3 & 4 & 5\\ -2 & -4 & 6 & -8 & -10\\ 7 & 1 & -3 & 0 & 1\end{matrix}\right)$$

Si nota facilmente, che tra tutti i minori di ordine $2$, quello ottenuto estraendo da $A$ la 1° e 2° colonna, la 2° e 3° riga ha determinante non nullo:

$$\left|\begin{matrix} -2 & -4\\ 7 & 1\end{matrix}\right|=-2+28=26\neq 0$$

Da ciò segue che $r(A)\ge 2$. Calcoliamo i determinanti dei 3 orlati:

$$\left|\begin{matrix} 1 & 2 & -3\\ -2 & -4 & 6\\ 7 & 1 & -3\end{matrix}\right|=0,\quad\left|\begin{matrix} 1 & 2 & 4\\ -2 & -4 & -8\\ 7 & 1 & 0\end{matrix}\right|=0\quad\left|\begin{matrix} 1 & 2 & 5\\ -2 & -4 & -10\\ 7 & 1 & 1\end{matrix}\right|=0$$

Pertanto, $r(A)=2$.

Osserviamo che se avessimo usato la procedura top-down, avremmo dovuto calcolare ${5\choose 3}=10$ determinanti, poichè 10 sono i possibili minori di ordine 3 estraibili da A.

Proprietà del rango di una matrice

Al fine di semplificare il calcolo del rango, conviene utilizzare (ove possibile) le proprietà che seguono.

Il rango di una matrice non cambia se:

  1. si aggiunge o si sopprime una riga (colonna) di elementi nulli;
  2. si moltiplicano tutti gli elementi di una riga (colonna) per una costante non nulla;
  3. si sommano agli elementi di una riga (colonna) i corrispondenti elementi di una o più righe (colonne) ad essa parallele, moltiplicate per delle costanti arbitrarie;
  4. si aggiunge o si sopprime una o più righe (colonne) i cui elementi sono combinazioni lineari degli elementi corrispondenti di altre righe (colonne) ad essa parallele.
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