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Operazioni con le matrici

Matrice opposta e matrice trasposta

Dicesi matrice opposta ad una matrice $A=(a_{ij})$ la matrice $-A=(-a_{ij})$, ovvero la matrice che ha come elementi gli opposti degli elementi di $A$.

Esempio di matrice opposta ad un matrice data

Sia data la matrice

$$A=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & \pi\\ 0 & -1 & 9\\ 2 & -3 & 0\end{matrix}\right)$$

allora, la sua opposta sarà:

$$-A=\left(\begin{matrix} -1 & 0 & -\pi\\ 0 & 1 & -9\\ -2 & 3 & 0\end{matrix}\right)$$

Data la matrice $A=(a_{ij})$, di tipo $m\times n$, dicesi matrice trasposta di $A$ la matrice $n\times m$ che si ottiene scambiando ordinatamente le righe con le colonne e si indica con il simbolo $A^T$.

Esempio di matrice trasposta di una matrice data

Sia data la matrice

$$A=\left(\begin{matrix} 2 & -1 & 0\\ 3 & 4 & -5\end{matrix}\right)$$

allora, la sua trasposta sarà:

$$A^T=\left(\begin{matrix} 2 & 3\\ -1 & 4\\ 0 & -5\end{matrix}\right)$$

Osservazione sulla doppia trasposizione di una matrice

Facendo il trasposto di una matrice $A$ per due volte, si ottiene nuovamente la matrice $A$ di partenza, cioè:

$$(A^T)^T=A$$

Addizione e sottrazione tra matrici

Date $A=(a_{ij})$ e $B=(b_{ij})$ entrambe di tipo $m\times n$ si dice somma di $A$ e $B$, e si denota con $A+B$, la matrice $m\times n$

$$A+B= (a_{ij}+b_{ij})$$

Si dice, invece, differenza di $A$ e $B$ la matrice $m\times n$

$$A-B= (a_{ij}-b_{ij})$$

Esempio di somma e differenza tra matrici

$$A=\left(\begin{matrix} 2 & -1 & 0\\ -2 & 0 & 1\\ 3 & 4 & 5\end{matrix}\right)\quad B=\left(\begin{matrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)$$

La somma di $A$ e $B$ è:

$$A+B=\left(\begin{matrix} 2+0 & -1+1 & 0+1\\ -2+1 & 0+1 & 1+2\\ 3+0 & 4+0 & 5+0\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 2 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 3\\ 3 & 4 & 5\end{matrix}\right)$$

La differenza di $A$ e $B$ è:

$$A-B=\left(\begin{matrix} 2-0 & -1-1 & 0-1\\ -2-1 & 0-1 & 1-2\\ 3-0 & 4-0 & 5-0\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 2 & -2 & -1\\ -3 & -1 & -1\\ 3 & 4 & 5\end{matrix}\right)$$

Proprietà della somma e differenza tra matrici

  • Proprietà commutativa della somma: $$A+B=B+A$$
  • Proprietà associativa della somma: $$A+(B+C)=(A+B)+C$$
  • Esistenza della matrice opposta: $$A+(-A)=-A+A=\Omega$$
  • Esistenza dell'elemento neutro della somma: $$A+\Omega=\Omega +A=A$$
  • Trasposta di una somma tra matrici: $$(A+B)^T=A^T+B^T$$

Prodotto righe per colonne

Date due matrici $A=(a_{ik})$ di tipo $m\times p$ e $B=(a_{kj})$ di tipo $p\times n$, dicesi prodotto di $A$ per $B$ (righe per colonne) la matrice $$A\cdot B=C=(c_{ij})$$ di tipo $m\times n$ i cui elementi sono dati da:

$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots +a_{ip}b_{pj}$$

Esempio di calcolo del prodotto righe per colonne tra due matrici

$$A=\left(\begin{matrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1\end{matrix}\right)\quad B=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & -1 & 0\\ 2 & -1 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 0\end{matrix}\right)$$

Calcoliamo i $c_{ij}$ uno alla volta mostrando i calcoli da fare:

$$\begin{array}{l} c_{11}=2\cdot 1+1\cdot 2+0\cdot 0=4 & \mbox{(1° riga di A per 1° colonna di B)}\\ c_{12}=2\cdot 0+1\cdot (-1)+0\cdot 1=-1 & \mbox{(1° riga di A per 2° colonna di B)}\\ c_{13}=2\cdot (-1)+1\cdot 3+0\cdot 2=1 & \mbox{(1° riga di A per 3° colonna di B)}\\ c_{14}=2\cdot 0+1\cdot 1+0\cdot 0=1 & \mbox{(1° riga di A per 4° colonna di B)}\\ c_{21}=0\cdot 1+(-1)\cdot 2+1\cdot 0=-2 & \mbox{(2° riga di A per 1° colonna di B)}\\ c_{22}=0\cdot 0+(-1)\cdot (-1)+1\cdot 1=2 & \mbox{(2° riga di A per 2° colonna di B)}\\ c_{23}=0\cdot (-1)+(-1)\cdot 3+1\cdot 2=-1 & \mbox{(2° riga di A per 3° colonna di B)}\\ c_{23}=0\cdot 0+(-1)\cdot 1+1\cdot 0=-1 & \mbox{(2° riga di A per 4° colonna di B)}\end{array}$$

Dunque, la matrice prodotto sarà:

$$C=\left(\begin{matrix} 4 & -1 & 1 & 1\\ -2 & 2 & -1 & -1\end{matrix}\right)$$

NOTA che il prodotto tra due matrici è possibile solo quando il numero di colonne della prima matrice coincide con il numero di righe della seconda matrice.

Proprietà del prodotto righe per colonne

Date 3 matrici $A$, $B$ e $C$ di tipo $m\times n$ risulta:

    • Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: $$A(B+C)=AB+AC$$
    • Proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto: $$(A+B)C=AC+BC$$

  • Proprietà associativa del prodotto: $$(AB)C=A(BC)$$
  • Trasposta di un prodotto tra matrici: $$(AB)^T=B^TA^T$$
  • Esistenza dell'elemento nullo: $$A\Omega_n=\Omega_m A=\Omega$$
  • Esistenza dell'unità: $$AI_n=I_m A=A$$

Prodotto scalare

Dati la matrice $A=(a_{ij})$ di tipo $m\times n$ e un numero reale $\lambda\in\mathbb R$, si definisce prodotto scalare di $A$ per $\lambda$ e si denota con $\lambda A$, la matrice $m\times n$ ottenuta moltiplicando per $\lambda$ ogni elemento $a_{ij}$ di $A$:

$$\lambda A=(\lambda a_{ij})\quad \forall i,j$$

Esempio di prodotto scalare

$$A=\left(\begin{matrix} 2 & 3 & 0\\ -1 & -4 & 5\end{matrix}\right),\quad \lambda = -3$$

Il prodotto scalare tra la matrice e il numero reale è:

$$-3A=\left(\begin{matrix} -6 & -9 & 0\\ 3 & 12 & -15\end{matrix}\right)$$

Proprietà del prodotto scalare

Date due matrici $A$ e $B$ di tipo $m\times n$ e due scalari $\lambda,\mu\in\mathbb R$, si ha:

  • $\lambda A=A\lambda$
  • $(\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)$
  • $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$
  • $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$

Matrice inversa e teoremi

Data una matrice quadrata $A$ di ordine $n$, si dice matrice inversa di $A$ ( e si denota con $A^{-1}$), la matrice quadrata di ordine $n$ (se esiste) che gode della seguente proprietà $$AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$$

Teorema sull'esistenza della matrice inversa

La matrice $A$ ammette inversa $A^{-1}$ se e solo se il determinante di $A$ (clicca per approfondimento) è non nullo.

Se la matrice $A$ ammette inversa $A^{-1}$, si dice invertibile.

Clicca qui per vedere come si calcola la matrice inversa.

Teorema di unicità della matrice inversa

Se $A^{-1}$ esiste, allora è unica.

Teorema sull'invertibilità di due matrici

Siano $A$ e $B$ due matrici quadrate di ordine $n$ tali che:

$$A\neq\Omega\quad B\neq\Omega\quad AB=\Omega$$

Allora,

$$\not\exists A^{-1}\quad\mbox{e}\quad\not\exists B^{-1}$$

Teorema sull'invertibilità del prodotto di due matrici

Siano $A$ e $B$ due matrici quadrate di ordine $n$ invertibili, ossia $\exists A^{-1}$ e $\exists B^{-1}$. Allora $\exists (AB)^{-1}$ e risulta:

$$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$

Teorema sulla trasposta dell'inversa di una matrice

Se $\exists A^{-1}$, allora si ha:

$$(A^T)^{-1}=(A^-1)^T$$

Teorema sulla doppia invertibilità di una matrice

Se $\exists A^{-1}$, $A^{-1}$ è invertibile e ha come inversa la matrice di partenza $A$. In simboli:

$$(A^{-1})^{-1}=A$$

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Commenti  

+1 # the bestDavid 2015-11-25 17:15
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