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Metodo dell'inversa per sistemi lineari

Dato il sistema lineare $Ax=b$ con A matrice incompleta di ordine n, se $detA \neq 0$ il sistema ammette una sola soluzione che determineremo con il metodo dell'inversa.

Il sistema lineare è del tipo

$$ \begin{equation} \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2+ \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\ \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2+ \ldots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases} \end{equation} $$

che si può chiaramente scrivere in forma compatta $Ax=b$ se indichiamo con

$$ A = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right) $$ $$x=\left(\begin{matrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ \vdots\\ x_{n}\end{matrix}\right) \quad \mbox{e} \quad b=\left(\begin{matrix} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ \vdots\\ b_{n}\end{matrix}\right) $$

Osserviamo che se $detA \neq 0$ la matrice $A$ è invertibile.

Moltiplicando allora a sinistra ambo i membri dell'equazione $Ax=b$ per l'inversa $A^{-1}$, troviamo che

$$x = A^{-1} b$$

Per vedere come si determina l'inversa di una matrice clicca qui.

La ricerca della soluzione si riduce quindi ad un prodotto "riga per colonna" tra la matrice inversa di $A$ e il vettore dei termini noti $b$.

Risoluzione di un sistema lineare con matrice quadrata

Risolvere il sistema lineare $$ \begin{equation} \begin{cases} 3x_1 + 7x_2 = 27\\5x_1 -2x_2 = 4 \end{cases} \end{equation} $$ con il metodo dell'inversa.

La matrice incompleta $A$ è di ordine 2 e il suo determinante risulta

$$ A= \left| \begin{array}{cc} 3 & 7 \\ 5 & -2 \end{array} \right| = -41 \neq 0 $$

Il sistema allora ammette una ed una sola soluzione. Per determinarla, procediamo determinando la matrice inversa di $A$.

$$ A^{-1}= -\frac{1}{41}\left( \begin{array}{cc} -2 & -7 \\ -5 & 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \frac{2}{41} & \frac{7}{41} \\ \frac{5}{41} & -\frac{3}{41} \end{array} \right)$$

Il vettore delle soluzioni $x = (x_1, x_2)^T$ sarà quindi dato dal prodotto $A^{-1} b$ ovvero:

$$x= \left( \begin{matrix} \frac{2}{41} & \frac{7}{41} \\ \frac{5}{41} & -\frac{3}{41} \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} 27\\ 4 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 2\\ 3 \end{matrix}\right) $$

Il metodo dell'inversa può essere utilizzato anche per risolvere sistemi lineari in cui la matrice dei coefficienti non è quadrata. Per il teorema di Rouchè-Capelli, infatti, condizione necessaria e sufficiente affinchè il sistema lineare $Ax=b$ ammetta soluzione è che il rango della matrice incompleta sia uguale al rango della matrice completa, cioè $r(A)=r(B)=r$. In questo caso il sistema ammetterà $\infty^{n-r}$ soluzioni. Se $A_r$ è una sottomatrice di $A$ di ordine $r$, allora il sistema è equivalente al sistema ottenuto da $Ax=b$ cancellando le righe che non contengono le righe di $A_r$ e procedere come nell'esempio precedente.

Risoluzione di un sistema lineare con numero di equazioni (m) minore del numero delle incognite (n)

Risolvere il sistema lineare $$ \begin{equation} \begin{cases} 2x_1 + x_2+2x_3 = 4\\3x_1+6x_2-4x_3 =-2 \end{cases} \end{equation} $$ con il metodo dell'inversa.

Il sistema dato è un sistema di due equazioni in tre incognite. La matrice dei coefficienti è quindi una matrice rettangolare $(2,3)$. $$ A = \left( \begin{matrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 6 & -4 \end{matrix} \right) $$

Il rango di $A$ è $2$ visto che esiste un minore di ordine $2$ con determinante non nullo:

$$ A_2 = \left|\begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 6 \end{matrix} \right| = 9 \neq 0 $$

Il rango della matrice completa $B = \left( \begin{matrix} 2 & 1 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & -4 & -2 \end{matrix} \right)$ sarà necessariamente $2$ visto che ha due sole righe. Per il teorema di Rouchè-Capelli il sistema ammette $\infty^{n-r} = \infty^{3-2} = \infty$ soluzioni.

Per determinare le infinite soluzioni, riscriviamo il sistema mantenendo a sinistra le sole incongnite associate al minore $A_2$.

$$ \begin{equation} \begin{cases} 2x_1 + x_2= -2x_3 + 4\\3x_1+6x_2= 4x_3 -2 \end{cases} \end{equation} $$

Adesso basta applicare il metodo dell'inversa per matrici quadrate al nuovo sistema lineare con matrice dei coefficienti $A_2$.

$$ \left( \begin{matrix} x_1\\x_2 \end{matrix} \right) = A_{2}^{-1} b = \left( \begin{matrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{9}\\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{9} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4-2x_3\\-2+4x_3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} \frac{26-16x_3}{9}\\ \frac{-16+14x_3}{9} \end{matrix} \right) $$

La terna delle soluzioni è quindi $(\frac{26-16x_3}{9}, \frac{-16+14x_3}{9}, x_3 ), x_3 \in \mathbb{R}$.

Risoluzione di un sistema lineare con numero delle equazioni (m) maggiore del numero delle incognite (n)

Risolvere il sistema lineare $$ \begin{equation} \begin{cases} x_1 - 3x_2 = 11\\2x_1-7x_2 =25\\ x_1 -4x_2 =14 \end{cases} \end{equation} $$ con il metodo dell'inversa.

Il sistema dato è un sistema di tre equazioni in due incognite. La matrice dei coefficienti è quindi una matrice rettangolare $(3,2)$. $$ A = \left( \begin{matrix} 1 & -3 \\ 2 & -7 \\ 1 & -4 \end{matrix} \right) $$

Il rango di $A$ è $2$ visto che esiste un minore di ordine $2$ con determinante non nullo:

$$ A_2 = \left|\begin{matrix} 1 & -3 \\ 2 & -7 \end{matrix} \right| = -1 \neq 0 $$

Per esistere soluzioni, verifichiamo che il rango della matrice completa è 2. Poichè il determinante di $B = \left| \begin{matrix} 1 & -3 & 11 \\ 2 & -7 & 25\\ 1 & -4 & 14 \end{matrix} \right| = -261+261=0 $ il suo rango sarà necessariamente $2$.

Il sistema ammette allora $\infty^{2-2}=1$ soluzione. Per determinarla applico il metodo dell'inversa per matrici quadrate al sistema equivalente, ottenuto considerando come matrice dei coefficienti $A_2$, ovvero

$$ \begin{equation} \begin{cases} x_1 - 3x_2 = 11\\2x_1-7x_2 =25 \end{cases} \end{equation} $$

Allora il vettore delle soluzioni sarà dato dal prodotto riga per colonna

$$ \left( \begin{matrix} x_1\\x_2 \end{matrix} \right) = A_{2}^{-1} b = \left( \begin{matrix} 7 & -3\\ 2 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 11\\ 25 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2\\ -3 \end{matrix} \right) $$

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