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Calcolo matrice inversa

Data una matrice quadrata $A$ di ordine $n$, si definisce matrice aggiunta di $A$ (e si denota con $A^{(a)}$) la matrice trasposta di quella che si ottiene sostituendo gli elementi $a_{ij}$ con i corrispondenti complementi algebrici $A_{ij}$ per ogni $i,j$, ossia:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{A^{(a)}=(A_{ij})^T}$$

Esempio di calcolo della matrice aggiunta

Data $$A=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & -2\\ 3 & -1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{matrix}\right)$$ per trovare la sua matrice aggiunta, calcoliamo dapprima tutti i complementi algebrici:

$$\begin{array}{l} A_{11}=\left|\begin{matrix} -1 & 0\\ 0 & 1\end{matrix}\right|=-1\\ A_{12}=-\left|\begin{matrix} 3 & 0\\ -1 & 1\end{matrix}\right|=-3\\ A_{13}=\left|\begin{matrix} 3 & -1\\ -1 & 0\end{matrix}\right|=-1\\ A_{21}=-\left|\begin{matrix} 0 & -2\\ 0 & 1\end{matrix}\right|=0\\ A_{22}=\left|\begin{matrix} 1 & -2\\ -1 & 1\end{matrix}\right|=-1\\ A_{23}=-\left|\begin{matrix} 1 & 0\\ -1 & 0\end{matrix}\right|=0\\ A_{31}=\left|\begin{matrix} 0 & -2\\ -1 & 0\end{matrix}\right|=-2\\ A_{32}=-\left|\begin{matrix} 1 & -2\\ 3 & 0\end{matrix}\right|=-6\\ A_{33}=\left|\begin{matrix} 1 & 0\\ 3 & -1\end{matrix}\right|=-1\end{array}$$

La matrice aggiunta sarà dunque formata dai complementi algebrici appena calcolati, disposti scambiando le righe con le colonne:

$$A^{(a)}=\left(\begin{matrix} A_{11} & A_{21} & A_{31}\\ A_{12} & A_{22} & A_{32}\\ A_{13} & A_{23} & A_{33}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} -1 & 0 & -2\\ -3 & -1 & -6\\ -1 & 0 & -1\end{matrix}\right)$$

Abbiamo visto qui, che una matrice quadrata $A$ ammette inversa se e soltanto se il suo determinante non è nullo. In questo caso la formula per calcolare la matrice inversa è:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{A^{-1}=\frac{A^{(a)}}{|A|}=|A|^{-1}\cdot A^{(a)}}$$

Possiamo anche calcolare il determinate della matrice inversa mediante la seguente formula:

$$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=|A|^{-1}$$

Esempio di calcolo della matrice inversa

Data la matrice dell'esempio precedente $$A=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & -2\\ 3 & -1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{matrix}\right)$$ dobbiamo per prima cosa verificare se tale matrice ammette inversa calcolando il suo determinante. Usando la regola di Laplace o di Sarrus risulta:

$$A=\left|\begin{matrix} 1 & 0 & -2\\ 3 & -1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{matrix}\right|=1\neq 0$$

Essendo il determinante non nullo, possiamo dire per il teorema sull'esistenza dell'inversa che $\exists A^{-1}$. Avendo calcolato già la matrice aggiunta $A^{(a)}$, utilizzando la formula per il calcolo dell'inversa si ottiene:

$$A^{-1}=\frac{A^{(a)}}{1}=\left(\begin{matrix} -1 & 0 & -2\\ -3 & -1 & -6\\ -1 & 0 & -1\end{matrix}\right)$$

Possiamo verificare che $A^{-1}$ è effettivamente l'inversa di $A$ sfruttando la proprietà vista qui:

$$\begin{array}{l} A\cdot A^{-1}&=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & -2\\ 3 & -1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix} -1 & 0 & -2\\ -3 & -1 & -6\\ -1 & 0 & -1\end{matrix}\right)=\\ &=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right)=I_3\end{array}$$

Analogamente potevamo calcolare $A^{-1}\cdot A =\dots = I_3$.

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