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Introduzione ai sistemi lineari

Date $m$ equazioni lineari nelle $n$ incognite $x_1,x_2,\dots ,x_n$, dicesi sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ incognite il simbolo ottenuto raggruppando con una parentesi graffa le $m$ equazioni date, scritte in sequenza:

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots +a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots +a_{2n}x_n=b_2\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots +a_{mn}x_n=b_m\end{cases}$$

dove termini $b_1,b_2,\dots ,b_n$ sono detti termini noti.

Indicati con $A$ la matrice dei coefficienti (o matrice incompleta)

$$A=\left(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}\end{matrix}\right)$$

$\overline{x}$ il vettore delle incognite

$$\overline{x}=\left(\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{matrix}\right)$$

e con $\overline{b}$ il vettore dei termini noti

$$\overline{b}=\left(\begin{matrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m\end{matrix}\right)$$

possiamo scrivere un sistema lineare in forma compatta nel seguente modo:

$$A\overline{x}=\overline{b}$$

Si introduce anche la matrice completa, ottenuta aggiungendo alla matrice incompleta $A$ la colonna dei termini noti:

$$B=\left(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & b_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & b_m\end{matrix}\right)$$

Esempio matrice incompleta e completa, vettore delle incognite e dei termini noti in un sistema lineare

Considerato il sistema lineare $$\begin{cases} x_1-2x_2+3x_4=6\\ 3x_2-x_3+x_4=0\\ 7x_1+x_2+x_3+2x_4=5\end{cases}$$ la matrice incompleta è: $$A=\left(\begin{matrix} 1 & -2 & 0 & 3\\ 0 & 3 & -1 & 1\\ 7 & 1 & 1 & 2\end{matrix}\right)$$ il vettore delle incognite è $$\overline{x}=\left(\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{matrix}\right)$$ il vettore dei termini noti è $$\overline{b}=\left(\begin{matrix} 6\\ 0\\ 5\end{matrix}\right)$$ e la matrice completa è $$B=\left(\begin{matrix} 1 & -2 & 0 & 3 & 6\\ 0 & 3 & -1 & 1 & 0\\ 7 & 1 & 1 & 2 & 5\end{matrix}\right)$$

L'insieme $S$ delle soluzioni di un sistema è dato da tutte le n-uple di numeri reali $(s_1,s_2,\dots ,s_n)$ che soddisfano tutte le $n$ equazioni del sistema.

Esempio calcolo soluzioni sistema di 2 equazioni in 2 incognite

Troviamo le soluzioni del seguente sistema lineare:

$$\begin{cases} 2x_1-3x_2=6\\ x_1+x_2=1\end{cases}$$

Esplicitando $x_2$ nella 2° equazione e sostituendo la sua espressione nella 1° equazione, otteniamo:

$$\begin{cases} 2x_1-3+3x_1=6\\ x_2=1-x_1\end{cases}$$

Dalla 1° equazione risulta che $x_1=\frac{9}{5}$; sostituendolo nella 2° equazione troviamo $x_2=1-\frac{9}{5}=-\frac{4}{5}$$

Concludiamo dicendo che l'unica soluzione del sistema è

$$S=\bigg\{\left(\frac{9}{5},-\frac{4}{5}\right)\bigg\}$$

Un sistema lineare si dice:

  • Possibile se ammette soluzioni, in particolare:
    • determinato se ne ammette una sola;
    • indeterminato se ne ammette infinite.
  • Impossibile se non ammette soluzioni.

Un sistema in cui tutti i termini noti sono nulli viene chiamato sistema omogeneo; non omogeneo altrimenti.

Osserviamo che un sistema omogeneo è sempre possibile perchè ammette sempre la soluzione nulla (o banale) $S=(0,0,\dots ,0)$.

Esempio di sistema omogeneo

Il sistema $$\begin{cases} x_1+x_2+x_3\\ x_1-x_3=0\end{cases}$$ è omogeneo e ammette infinite soluzioni, tra cui $(0,0,0)$.

Proprietà dei sistemi lineari

Elenchiamo una lista di proprietà che ci consentiranno, talvolta, di trasformare un sistema lineare in un altro più facile da risolvere.

Premettiamo che due sistemi lineari si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni $S$.

  1. Se in un sistema lineare si scambiano 2 equazioni tra loro, si ottiene un sistema lineare equivalente a quello dato (esempio).
  2. Se in un sistema lineare si trasforma un'equazione in un'altra equivalente, si ottiene un sistema lineare equivalente a quello dato (esempio).
  3. Se in un sistema lineare si somma ad un'equazione una o più altre equazioni del sistema, moltiplicate per delle costanti arbitrarie, si ottiene un sistema equivalente a quello dato (esempio).
  4. Se in un sistema lineare si aggiunge o si elimina un'equazione che è combinazione lineare di altre equazioni del sistema, si ottiene un sistema equivalente a quello dato (esempio).
  5. Se nella matrice incompleta $A$ si scambiano tra loro le colonne i-esima e j-esima, e nel vettore delle incognite $\overline{x}$ si scambiano tra loro $x_i$ e $x_j$, si ottiene un sistema equivalente a quello dato (esempio).

Esempio proprietà 1 e 2

I due sistemi $$\begin{cases} x_1-2x_2+x_3=2\\ x_1-x_3=0\\ x_2-3x_3=1\end{cases},\quad\begin{cases} -2x_1+4x_2-2x_3=-4\\ \frac{1}{2}x_2-\frac{3}{2}x_3=\frac{1}{2}\\ x_1-x_3=0\end{cases}$$ sono equivalenti perchè abbiamo scambiato la 2° e la 3° equazione e moltiplicato per $-2$ la 1° equazione e per $\frac{1}{2}$ la 3° equazione.

Esempio proprietà 2, 3 e 4

Considerato il sistema

$$\begin{cases} x-y+2z=1\\ 2x+z=0\\ 2y-3z=-2\end{cases}$$

Moltiplicando per $2$ la 1° equazione otteniamo un sistema equivalente al precedente per la 2° proprietà:

$$\begin{cases} 2x-2y+4z=2\\ 2x+z=0\\ 2y-3z=-2\end{cases}$$

Sommando la 1° equazione alla 2° otteniamo ancora un sistema equivalente per la 3° proprietà:

$$\begin{cases} 2x-2y+4z=2\\ 2y-3z=-2\\ 2y-3z=-2\end{cases}$$

Sopprimendo la 3° equazione (uguale alla 2°), ottengo un sistema equivalente per la 4° proprietà:

$$\begin{cases} 2x-2y+4z=2\\ 2y-3z=-2\end{cases}$$

Esempio proprietà 5

Consideriamo il sistema

$$\begin{cases} x_1-2x_2+x_3=7\\ 3x_1+2x_3=0\\ 7x_2-3x_3=1\end{cases}$$

Matrice completa, vettore delle incognite e vettore dei termini noti sono rispettivamente:

$$\left(\begin{matrix} 1 & -2 & 1\\ 3 & 0 & 2\\ 0 & 7 & -3\end{matrix}\right),\quad\overline{x}=\left(\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{matrix}\right),\quad\overline{b}=\left(\begin{matrix} 7\\ 0\\ 1\end{matrix}\right)$$

Applicando la proprietà 5 con i=1 e j=3 risulta:

$$\left(\begin{matrix} 1 & -2 & 1\\ 2 & 0 & 3\\ -3 & 7 & 0\end{matrix}\right),\quad\overline{x}=\left(\begin{matrix} x_3\\ x_2\\ x_1\end{matrix}\right),\quad\overline{b}=\left(\begin{matrix} 7\\ 0\\ 1\end{matrix}\right)$$

che corrisponde al sistema (equivalente a quello dato):

$$\begin{cases} x_3-2x_2+x_1=7\\ 2x_3+3x_1=0\\ -3x_3+7x_2=1\end{cases}$$

Studiare un sistema lineare vuol dire determinare se è possibile o impossibile e, se possibile, esibire l'insieme delle soluzioni.

Per risolvere i sistemi lineari esamineremo:

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