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Definizioni ed esempi di matrici

Dicesi matrice di tipo $m\times n$ il simbolo che si ottiene disponendo $m\times n$ elementi in una tabella formata da $m$ righe e da $n$ colonne, racchiusa da due parentesi tonde o quadre:

Una generica matrice $A$ di tipo $m\times n$ è la seguente:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{ A=\left(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{in}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}\end{matrix}\right)}$$

che in maniera compatta scriveremo:

$$A=(a_{ij})\quad\begin{array}{l} i=1,\dots , m\\ j=1,\dots , n\end{array}$$

Esempio di matrice rettangolare di tipo $3\times 4$.

$$A=\left(\begin{matrix} 2 & 0 & 1 & 4\\ 3 & -1 & \pi & 0\\ e & \sqrt{2} & 0 & \log 2\end{matrix}\right)$$

Diremo che la matrice è rettangolare se il numero di righe è diverso dal numero di colonne e quindi se $m\neq n$. La matrice sopra è un esempio di matrice rettangolare.

Diremo che la matrice è quadrata se il numero di righe è uguale al numero di colonne e quindi se $m=n$. In tal caso la chiameremo matrice quadrata di ordine $n$.

Particolari matrici rettangolari

  • matrice di tipo $m\times 1$ (con $m\neq 1$): vettori colonna $$A=\left(\begin{matrix} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{i1}\\ \vdots\\ a_{m1}\end{matrix}\right)$$
  • matrice di tipo $1\times n$ (con $n\neq 1$): vettori riga $$A=(a_{11},a_{12},\dots ,a_{1j},\dots , a_{1n})$$
  • matrice rettangolare nulla: matrice rettangolare con tutti gli elementi nulli $$\Omega_{m,n}=\left(\begin{matrix} 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 0\end{matrix}\right)$$

Particolari matrici quadrate

  • matrice di tipo $1\times 1$: numeri reali $$A=(a_{11})$$
  • matrice quadrata nulla: matrice quadrata con tutti gli elementi nulli $$\Omega_n=\left(\begin{matrix} 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 0\end{matrix}\right)$$

  • matrice identica: matrice quadrata con tutti 1 nella diagonale principale e 0 altrove $$I_n=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 1 & \dots & 0\\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 1\end{matrix}\right)$$

    Ad esempio, la matrice identica di ordine 2 è:

    $$I_2=\left(\begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{matrix}\right)$$

    Mentre, invece, la matrice identica di ordine 3 è:

    $$I_3=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right)$$

  • matrice diagonale: matrice quadrata con elementi non nulli soltanto nella diagonale principale: $$A=\left(\begin{matrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & \pi & 0\\ 0 & 0 & -\sqrt{2}\end{matrix}\right)$$

  • matrice scalare: matrice quadrata con elementi uguali sulla diagonale principale e nulli altrove: $$A=\left(\begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{matrix}\right)$$

  • matrice triangolare: matrice quadrata in cui tutti gli elementi sopra oppure sotto la diagonale principale sono nulli: $$A=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ \pi & 3 & 0 & 0\\ 0 & 4 & -2 & 0\\ e & 0 & 1 & 4\end{matrix}\right)$$

    oppure

    $$B=\left(\begin{matrix} 0 & -1 & 9\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{matrix}\right)$$

Osserviamo che queste particolari matrici quadrate possono essere incluse nella seguente struttura insiemistica, che ci dice che le matrici identiche, scalari e diagonali, sono particolari matrici triangolari.particolari matrici quadrate

Un'altra particolare matrice quadrata è la matrice simmetrica, ovvero quella matrice in cui gli elementi sopra la diagonale principale coincidono con gli elementi presenti sotto la diagonale stessa.

$$A=\left(\begin{matrix} 1 & 3 & \pi\\ 3 & -2 & 4\\ \pi & 4 & 0\end{matrix}\right)$$

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