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Problemi sulle operazioni tra matrici

In questa pagina trovate tante applicazioni sui seguenti concetti (clicca sui link per visualizzare teoria ed esempi):

Proponiamo lo studio delle seguenti matrici (fai clicca su ognuna di loro per visualizzare l'esercizio con il testo e le relative domande.

  1. $A=\left(\begin{matrix} -1 & 0 & \lambda\\ -2 & \lambda -1 & 2\\ 1 & -1 & 4\end{matrix}\right)$
  2. Esercizio con due matrici quadrate di ordine $4$
  3. Esercizio con una matrice avente un minore $M$ di ordine $2$ a determinante non nullo

Matrice 1

Sia data la matrice $$A=\left(\begin{matrix} -1 & 0 & \lambda\\ -2 & \lambda -1 & 2\\ 1 & -1 & 4\end{matrix}\right)$$ con $\lambda\in\mathbb R$. Quale tra le seguenti asserzioni è FALSA?

  1. Non esiste $B$ tale che $|AB|=\lambda^2 +\lambda -2$.
  2. Esistono infiniti valori di $\lambda$ per cui $r(A)=3$.
  3. $r(A)\ge 1\ \forall\lambda\in\mathbb R$.
  4. Esiste $\lambda\in\mathbb R$ per cui $r(A)=2$.
  5. Per $\lambda = 1$, non esiste $B$ tale che $AB$ è invertibile.

Notiamo subito che la 3) è vera in quanto basta estrarre una sottomatrice quadrata di ordine 1 da $A$ con determinante non nullo (un numero reale diverso da $0$ e non contenente $\lambda$), ad esempio l'elemento $a_{11}=-1$; così possiamo affermare che il rango di $A$ è almeno 1 per ogni valore di $\lambda$.

Inoltre, considerato l'orlato del minore $a_{11}$ ottenuto estraendo gli elementi della 1° e 3° riga, 1° e 2° colonna di $A$ $$\left(\begin{matrix} -1 & 0\\ 1 & -1\end{matrix}\right)$$ dato che il suo determinante è 1\neq 0$ e non dipende da $\lambda$, possiamo affermare che $r(A)=2\ \forall\lambda\in\mathbb R$. Questo ci consente di dire che anche la 4) è vera.

Adesso, calcoliamo il determinante di $A$ tramite la regola di Sarrus:

$$\begin{array}{l} |A|&=\left|\begin{matrix} -1 & 0 & \lambda\\ -2 & \lambda -1 & 2\\ 1 & -1 & 4\end{matrix}\right|\begin{matrix} -1 & 0\\ -2 & \lambda -1\\ 1 & -1\end{matrix}=\\ &=-4\lambda +4+2\lambda-\lambda^2+\lambda-2=\\ &=-\lambda^2-\lambda+2\end{array}$$

Per il teorema di Binet, la 1) sarebbe falsa se riuscissimo a trovare una matrice $B$ con determinante uguale a $-1$. Infatti, in tale caso si avrebbe:

$$|AB|=|A|\cdot |B|=(-\lambda^2-\lambda+2)\cdot (-1)=\lambda^2+\lambda-2$$

Una matrice con determinante uguale a $-1$ è, ad esempio, la matrice diagonale formata avente tutti $-1$ sulla diagonale principale:

$$B=\left(\begin{matrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{matrix}\right)$$

Quindi la 1) è FALSA.

Per rispondere alle domande rimaste, calcoliamo i valori di $\lambda$ per cui $|A|=0$, ovvero risolviamo l'equazione:

$$-\lambda^2-\lambda+2=0$$

Risulta che:

$$\lambda_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\{-2,1\}$$

Da questo segue che il rango di $A$ non è massimo (ossia non è 3) per $\lambda =-2$ oppure $\lambda =1$. Per tutti gli altri valori di $\lambda$ (infiniti valori), il rango è uguale a 3: la 2) è vera.

Concludiamo verificando che la 5) è vera. Per $\lambda = 1$ abbiamo visto che |A|=0, dunque, per la condizione necessaria e sufficiente sull'esistenza della matrice inversa, $A$ non è invertibile. Per il teorema sull'invertibilità del prodotto di due matrici, se una delle due matrici non è invertibile, nemmeno il prodotto tra le due matrici è invertibile, per cui la 5) è corretta.

Matrice 2

Siano $A$ e $B$ due matrici quadrate di ordine $4$.

Quale tra le seguenti asserzioni è FALSA?

  1. Se $AB=I_4$, allora $B$ è invertibile.
  2. Se $A=A^{-1}$, allora $|A|=1$.
  3. $|-A|=|A|$.
  4. Se $AB=\Omega_4$ e $|A|\neq 0$, allora $B$ è invertibile.
  5. Se $AB=BA$, allora $((BA)^2)^{-1}=(B^2)^{-1}(A^2)^{-1}$.

Per definizione di matrice inversa, se il prodotto tra due matrici è la matrice identica ($AB=I_4$), la seconda matrice ($B$) risulta essere l'inversa della prima, da cui segue che $B$ è invertibile: la 1) è vera. Inoltre, sempre per la definizione di matrice inversa, se la matrice $A$ coincide con la sua inversa, è chiaro che il determinante di $A$ è pari a 1. Infatti, sotto l'ipotesi che $A=A^{-1}$ si ha:

$$|A\cdot A^{-1}|=|A|\cdot |A^{-1}|=|I_4|=1\ \Leftrightarrow\ |A|=|A^{-1}|=1$$

Dunque la 2) è vera.

Per la proprietà 5 sui determinanti, essendo $A$ di ordine $4$, risulta:

$$|-A|=(-1)^4\cdot |A|=|A|$$

Per tale motivo anche la 3) è vera.

Vediamo la 4): dal fatto che $|A|\neq 0$ si ha che $A$ è invertibile; se per assurdo $B$ fosse invertibile, per il teorema sull'invertibilità del prodotto di due matrici, anche $AB$ sarebbe invertibile. Ma ciò, entra in contrasto con l'ipotesi che $AB$ è la matrice nulla ($AB=\Omega_4$), la quale, avendo determinante nullo non può assolutamente essere invertibile. Quindi, la 4) è falsa.

Infine nella 5) osserviamo che:

$$((BA)^2)^{-1}=[(BA)(BA)]^{-1}$$

Per la proprietà associativa del prodotto tra matrici e dall'ipotesi $AB=BA$, si ha:

$$[(BA)(BA)]^{-1}=[A(BAB)]^{-1}=[A(ABB)]^{-1}=[A^2B^2]^{-1}$$

Per il teorema sull'invertibilità del prodotto di due matrici si ha:

$$[A^2B^2]^{-1}=(B^2)^{-1}(A^2)^{-1}$$

che ci porta ad affermare che la 5) è vera.

Matrice 3

Sia $A$ una matrice tale che esiste un minore $M$ di ordine $2$ a determinante non nullo.

Quale delle seguenti asserzioni è FALSA?

  1. Se esiste nua matrice $B$ $3\times 3$ tale che $|AB|=0$, allora $r(A)=2$.
  2. Se $|A|=0$, allora $r(A)=2$.
  3. Se $|A|\neq 0$, allora $r(A^2)=r(A)$.
  4. $r(A)\ge 2$.
  5. Se $A$ è invertibile e $B$ è una matrice $3\times 3$ tale che $AB=\Omega$, allora $|B|=0$.

La prima cosa che possiamo osservare è che, essendo $M$ un minore di $A$ di ordine $2$ a determinante non nullo, $r(A)\ge 2$. Da questo segue che la sia la 2) che la 4) sono vere.

Dal teorema di Binet si ha che $|AB|=|A|\cdot |B|$ e poichè quest'ultimo si annulla, significa che o $|A|=0$ o $|B|=0$ (e non necessariamente $|A|=0$). Per tale motivo, il rango di $A$ potrebbe essere 3 se si annullasse il determinante di $B$. Quindi la 1) è FALSA.

Se |A|\neq 0$ si ha che il suo rango è massimo ovvero $3$ ed inoltre, applicando il teorema di Binet risulta:

$$|A^2|=|A\cdot A|=|A|\cdot |A|$$

Poichè $|A|\neq 0$ anche $|A^2|=|A|\cdot |A|\neq 0$ e quindi $r(A^2)=3=r(A)$: la 3) è vera.

Se $A$ è invertibile, esiste $A^{-1}$. Moltiplichiamo a sinistra ambo i membri di $AB=\Omega$ per $A^{-1}$:

$$A^{-1}AB=A^{-1}\Omega$$

si ha:

$$B=\omega\ \Rightarrow\ |B|=0$$

per cui la 5) è vera.

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