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Determinanti di matrici

Per ogni matrice quadrata $A$ di ordine $n$ possiamo calcolare un numero chiamato determinante che viene indicato con il simbolo $|A|$. Vedremo, nello specifico, come calcolare il determinate di una matrice di ordine 1,2 e 3.

Determinante di una matrice di ordine 1

Sia $A=(a_{11})$ una matrice quadrata di ordine 1; allora il suo determinante è uguale all'unico elemento che tale matrice possiede:

$$|A|=a_{11}$$

Determinante di una matrice di ordine 2

Se invece $A$ è una matrice quadrata di ordine 2, cioè $$A=\left(\begin{matrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{matrix}\right)$$ allora, il suo determinante è dato dalla differenza del prodotto tra gli elementi della diagonale principale e quello degli elementi della diagonale secondaria:

$$|A|=\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{matrix}\right|=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$$

Esempio di calcolo del determinante di una matrice di ordine 2

Se $$A=\left(\begin{matrix} 2 & 3\\ -1 & 4\end{matrix}\right)$$ il suo determinante vale $$|A|=\left|\begin{matrix} 2 & 3\\ -1 & 4\end{matrix}\right|=2\cdot 4-(-1\cdot 3)=11$$

Determinante di una matrice di ordine 3

Se $A$ è una matrice quadrata di ordine 3, esistono due regole che ci permettono di calcolare il determinante: regola di Sarrus e regola di Laplace.

Data la matrice $A$ di ordine 3, il suo determinante $$|A|=\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|$$ si calcola ricopiando a destra di $|A|$ le prime due colonne di $A$ $$\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}$$ per poi fare la differenza tra la somma dei prodotti degli elementi nelle diagonali in blu e la somma dei prodotti degli elementi nelle diagonali in rosso cosi come mostrato qui sotto:

$|A|=\quad$sarrus 1 $\quad -\quad$ sarrus 2

In particolare avremo:

$$\begin{array}{l} |A|&=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-\\ &+(a_{31}a_{22}a_{13}+a_{32}a_{23}a_{11}+a_{33}a_{21}a_{12})\end{array}$$

Esempio di calcolo del determinante di una matrice di ordine 3 tramite la regola di Sarrus

Sia $$A=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 2\\ -1 & 3 & 0\\ 4 & -2 & 1\end{matrix}\right)$$ calcoliamo il determinate con la regola sopra descritta: $$\begin{array}{l} |A|&=\left|\begin{matrix} 1 & 0 & 2\\ -1 & 3 & 0\\ 4 & -2 & 1\end{matrix}\right|\begin{matrix} 1 & 0\\ -1 & 3\\ 4 & -2\end{matrix}=\\ &=1\cdot 3\cdot 1+0\cdot 0\cdot 4+2\cdot (-1)\cdot (-2)-\\ &+(4\cdot 3\cdot 2+(-2)\cdot 0\cdot 1+1\cdot (-1)\cdot 0)=-17\end{array}$$

Se la matrice $A$ ha un numero considerevole di elementi nulli, risulta più comodo e veloce applicare la regola di Laplace per calcolare il determinante. Prima, però, di enunciare tale regola, abbiamo bisogno di definite alcuni concetti.

Data una matrice $A$ di tipo $m\times n$, dicesi matrice estratta oppure minore di $A$ una qualunque matrice $r\times c$ (con $r\le m$ e $c\le n$) avente come elementi quelli situati all'incrocio delle $r$ righe e delle $c$ colonne.

Esempio di minore di una matrice

Data la seguente matrice,

matrice estratta o minore

considerando solo gli elementi della prima e della terza colonna di $A$, otteniamo un minore di tipo $2\times 2$

$$M=\left(\begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & -1\end{matrix}\right)$$

Data una matrice quadrata $A$ di ordine $n$ e il minore $M$ di ordine $p<n$, dicesi complemento algebrico dell'elemento di posto $i,j$ ($a_{ij}$) e si denota con $A_{ij}$, il determinante del minore che si ottiene sopprimendo la i-esima riga e la j-esima colonna da $A$ preso come segue:

  • $+$ se $i+j$ è pari
  • $-$ se $i+j$ è dispari

Esempio di complemento algebrico

Sia, $$A=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & -2\\ 3 & -1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{matrix}\right)$$

Calcoliamo:

  • $A_{31}$: complemento algebrico dell'elento $a_{31}=-1$: $$A_{31}=+\left|\begin{matrix} 0 & -2\\ -1 & 0\end{matrix}\right|=0-2=-2$$
  • $A_{32}$: complemento algebrico dell'elento $a_{32}=0$: $$A_{32}=-\left|\begin{matrix} 1 & -2\\ 3 & 0\end{matrix}\right|=-(0+6)=-6$$
  • $A_{33}$: complemento algebrico dell'elento $a_{33}=1$: $$A_{31}=+\left|\begin{matrix} 1 & 0\\ 3 & -1\end{matrix}\right|=-1-0=-1$$

Adesso siamo finalmente in grado di calcolare il determinante di una qualsiasi matrice quadrata di ordine $n$ con il metodo di Laplace.

  1. Consideriamo, a piacere, una riga (o una colonna) di $A$ tra le $n$ a disposizione.
  2. Moltiplico ciascun elemento $a_{ij}$ appartenente alla riga (o alla colonna) scelta per il corrispondente complemento algebrico $A_{ij}$.
  3. Sommo i risultati delle prodotti trovati al passo precedente.

Esempio di calcolo del determinante di una matrice quadrata tramite la regola di Laplace

Sia, $$A=\left(\begin{matrix} 1 & 1 & -1 & 2\\ 0 & 1 & 3 & -2\\ 0 & 1 & 2 & -1\\ 2 & 3 & 1 & -1\end{matrix}\right)$$

Sviluppiamo con Laplace rispetto la prima colonna

$$|A|=a_{11}A_{11}-a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31}-a_{41}A_{41}$$

Sostituendo otteniamo:

$$\begin{array}{l} |A|=&1\cdot\left|\begin{matrix} 1 & 3 & -2\\ 1 & 2 & -1\\ 3 & 1 & -1\end{matrix}\right|+\\ &-0\cdot\left|\begin{matrix} 1 & -1 & 2\\ 1 & 2 & -1\\ 3 & 1 & -1\end{matrix}\right|+\\ &+0\cdot\left|\begin{matrix} 1 & -1 & 2\\ 1 & 3 & -2\\ 3 & 1 & -1\end{matrix}\right|+\\ &-2\cdot\left|\begin{matrix} 1 & -1 & 2\\ 1 & 3 & -2\\ 1 & 2 & -1\end{matrix}\right|=\\ &=\left|\begin{matrix} 1 & 3 & -2\\ 1 & 2 & -1\\ 3 & 1 & -1\end{matrix}\right|-2\cdot\left|\begin{matrix} 1 & -1 & 2\\ 1 & 3 & -2\\ 1 & 2 & -1\end{matrix}\right|\end{array}$$

A questo punto possiamo nuovamente applicare Laplace per calcolare i due determinanti $3\times 3$ (oppure, se preferiamo la regola di Sarrus). Calcoliamo il primo dei due determinanti sviluppando rispetto la 1° riga:

$$\begin{array}{l} \left|\begin{matrix} 1 & 3 & -2\\ 1 & 2 & -1\\ 3 & 1 & -1\end{matrix}\right|=&1\cdot\left|\begin{matrix} 2 & -1\\ 1 & -1\end{matrix}\right|+\\ &-3\cdot\left|\begin{matrix} 1 & -1\\ 3 & -1\end{matrix}\right|+\\ &-2\cdot\left|\begin{matrix} 1 & 2\\ 3 & 1\end{matrix}\right|=\\ &=-1-6+10=3\end{array}$$

Analogamente, sviluppando rispetto la 3° riga, il secondo determinante risulta:

$$\begin{array}{l} \left|\begin{matrix} 1 & -1 & 2\\ 1 & 3 & -2\\ 1 & 2 & -1\end{matrix}\right|=&1\cdot\left|\begin{matrix} -1 & 2\\ 3 & -2\end{matrix}\right|+\\ &-2\cdot\left|\begin{matrix} 1 & 2\\ 1 & -2\end{matrix}\right|+\\ &-1\cdot\left|\begin{matrix} 1 & -1\\ 1 & 3\end{matrix}\right|=\\ &=-4+8+-4=0\end{array}$$

Possiamo concludere dicendo che $|A|=3$.

Proprietà dei determinanti

Elenchiamo alcune proprietà che talvolta facilitano e velocizzano il calcolo del determinante di una qualsiasi matrice quadrata $A$ di ordine $n$.

    1. Il determinante di una matrice $A$ coincide con il determinate della sua trasposta $A^T$: $$|A|=|A^T|$$
    2. Se $A$ ha una riga o una colonna tutta nulla, allora $|A|=0$.

      Ad esempio, il determinate della matrice: $$A=\left(\begin{matrix} -3 & 1/2 & 0\\ -\pi & 0 & 0\\ 3/4 & -5 & 0\end{matrix}\right)$$ è nullo perchè la terza colonna contiene tutti elementi nulli.

    3. Se $A'$ è ottenuta da $A$ scambiando due righe (o due colonne), allora $|A'|=-|A|$.

      Ad esempio, data la matrice: $$A=\left(\begin{matrix} -3 & 1/2 & 3\\ -\pi & 0 & -1/2\\ 3/4 & -5 & 2\end{matrix}\right)$$ la matrice $A'$ ottenuta da $A$ scambiando la 1° riga con la 2° $$A'=\left(\begin{matrix} -\pi & 0 & -1/2\\ -3 & 1/2 & 3\\ 3/4 & -5 & 2\end{matrix}\right)$$ è tale che $|A'|=-|A|$.

    4. Se $A$ ha due righe (o due colonne) uguali, allora $|A|=0$.

      Ad esempio, il determinate della matrice: $$A=\left(\begin{matrix} -3 & 1/2 & -4\\ -3 & 1/2 & -4\\ 3/4 & -5 & 6\end{matrix}\right)$$ è nullo perchè la 1° e la 2° riga coincidono.

    5. $|k\cdot A|=k^n\cdot |A|\quad\forall k\in\mathbb R$. (N.B. $n$ è l'ordine della matrice $A$).
    6. Se la matrice $A$ ha una riga (o colonna) multipla di un'altra, allora $|A|=0$.

      Ad esempio, il determinate della matrice: $$A=\left(\begin{matrix} -3 & -6 & -4\\ -3 & -6 & 1\\ 3/4 & 3/2 & 6\end{matrix}\right)$$ è nullo perchè gli elementi della 2° colonna sono il doppio di quelli della 1° colonna.

    7. Se $A$ ha una riga (o una colonna) che è combinazione lineare di altre righe (o colonne), allora $|A|=0$.
    8. Se $A$ è una matrice triangolare, allora il determinante di $A$ è dato dal prodotto degli elementi della diagonale principale: $$|A|=a_{11}\cdot a_{22}\dots a_{nn}$$
    9. Teorema di Binet: Il determinante del prodotto tra due matrici quadrate di ordine $n$ è uguale al prodotto dei determinanti delle singole matrici. $$|A\cdot B|=|A|\cdot |B|\quad\mbox{B matrice di ordine n}$$
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Commenti  

+1 # RE: Determinanti di matriciGabriella 2015-10-04 09:59
Veramente utile! Grazie per l'utilissimo sommario
0 # RE: Determinanti di matriciSamuel Leanza 2015-11-25 17:04
Grazie Gabriella :-)

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